Chơng 9.
Tích phân xác định
15
4
Khối tròn xoay đợc tạo bởi một phần mặt phẳng quay xung quanh một trục nào đó.
Khi phần mặt phẳng đợc giới hạn bởi đồ thị đờng cong
y=f (x)
và các đờng thẳng
x=a, x=b, y=0
, còn trục quay đợc chọn là
0x
, thì
thiết diện của nó tại mỗi điểm
x
là một hình tròn có
diện tích là
S(x)=
f
2
(x)
.
Cho nên, thể tích của khối
tròn xoay này đợc tính bằng công thức
=
b
a
dxxfV )(
2
.
d) Thể tích hình cầu
Hình cầu là một dạng đặc biệt của khối tròn xoay,
khi
f (x) có đồ thị là một nửa vòng tròn (tức là
22
)( xRxf
=
) , cho nên ta dễ
dàng tính đợc thể tích của nó là
322222
3
4
)()( RdxxRdxxRV
R
R
R
R
===
.
Hình 9.7
155
_________________________________
Bài tập và
Thực hành tính toán Chơng 9
1. Thực hành tính tích phân xác định
________________
Để thực hành tính tích phân xác định, hãy vào dòng lệnh có cú pháp nh sau:
[>
int(f(x),x = a b);
Trong đó f(x) là biểu thức dới dấu tích phân a, b là cận dới và cận trên. Sau dấu (;)
ta ấn phím "Enter" thì việc tính tích phân xác định sẽ đợc thực hiện và sẽ có ngay đáp
số.
Thí dụ
[>
int(1/(x^2-5*x+6),x=0 1);
2 ln(2) ln(3)
Muốn có công thức biểu diễn tích phân, ta đánh các dòng lệnh có cú pháp tơng tự nh
trên , nhng thay int bởi Int, tức là:
[>
Int(1/(x^2-5*x+6),x=0 1);
dx
xx
+
1
0
2
65
1
Và để có giá trị số của biểu thức trên ta dùng lệnh
[>
value(");
2 ln(2) - ln(3)
trong đó (") ngụ ý chỉ biểu thức ngay trớc đó.
Lu ý rằng khi kết quả là một biểu thức cồng kềnh thì ta có thể tối giản bằng lệnh
simplify (đơn giản hóa) nh đã biết.
Trong nhiều trờng hợp, kết quả tính toán là những số vô tỷ, cha có công thức biểu thị
qua các ký hiệu thông thờng (tức là qua các hàm số và các số mà ta đã biết) thì máy
để nguyên công thức (nh sau một lệnh trơ). Nh vậy không có nghĩa là máy không
làm việc (tính toán), mà ngợc lại máy vẫn làm việc bình thờng, chỉ có điều nó không
biểu thị đợc kết quả thông qua các loại ký hiệu mà ta đã biết. Trong tình huống nh
vậy, ta vẫn có thể nhận biết đợc kết quả tính toán của máy bằng cách bảo nó cho ta
một ớc lợng xấp xỉ (với độ chính xác tuỳ ý), bằng câu lệnh đánh giá xấp xỉ biểu
thức trên dới dạng thập phân với độ chính xác tới
n
chữ số thập phân , có cú pháp
nh sau:
[>
evalf(",n);
Bài tập và thực hành tính toán
Chơng 9
15
6
Thí dụ
[>int(sin(x)/(x+sqrt(x)),x = 0 1);
dx
xx
x
+
1
0
)sin(
[>
value(");
dx
xx
x
+
1
0
)sin(
[>
evalf(",10);
.3615792078
Nh vậy, mặc dù nó có cả một kho các hàm và ký hiệu tợng trng rất đồ sộ (mà ta
cha từng thấy bao giờ), Maple cũng không thể vét hết các trờng hợp gặp phải. Cho
nên, khi thấy Maple tung ra một biểu thức với các ký hiệu lạ hoắc thì ta cũng không
có gì phải ngạc nhiên. Chỉ việc dùng lệnh
evalf(")
(nh ở trên) là ta có thể biết nó
là gì?.
Lu ý rằng Maple tính tích phân xác định bằng thuật toán cơ bản, mà không phải bằng
"mẹo", cho nên trong một số trờng hợp nó không tính nhanh bằng ta, thí dụ
[> Int(sin(x)/(1+x^2),x=-Pi Pi);
+
dx
x
x
2
1
)sin(
[> value(");
)1sinh()i(C
2
1
)1sinh()Ci(
2
1
)1sinh()Ci(
2
1
)1sinh()Ci(
2
1
I- - - I- - I - I +++
Nh vậy máy cho ta một kết quả khá cồng kềnh, trong khi chẳng cần tính ta cũng biết
rằng tích phân trên bằng 0 (vì hàm dới dấu tích phân là lẻ và miền lấy tích phân là đối
xứng qua gốc toạ độ). Tuy nhiên, ở đây không thể xem phơng pháp cơ bản là "yếu
thế" hơn so với mẹo vặt, bởi vì công thức "cồng kềnh" trên cho phép ta tính đợc tích
phân trên bất cứ đoạn nào, còn "mẹo vặt" thì không thể (bạn nào không tin xin tính
thử tích phân kia trên đoạn từ 0 đến 1 xem sao).
Muốn kiểm tra xem Maple có biết rằng biểu thức cồng kềnh trên là bằng 0 hay không
ta dùng lệnh
[> evalf(",100);
0
Nh vậy là nó cũng biết. Tuy nhiên, khi tính toán trong phạm vi độ chính xác thấp thì,
do sai số tính toán, máy có thể không nhận ra điều này. Thí dụ, nếu ta tính toán với độ
chính xác chỉ tới 50 chữ số thì máy sẽ cho kết quả là
[>
evalf(",50);
I
49
10.3
Tuy nhiên, nhiều khi Maple cũng tỏ ra "tỉnh táo" không thua gì chúng ta, thí dụ
Bài tập và thực hành tính toán
Chơng 9
15
7
[>
int(sin(x)/(1+x^2),x=-1 1);
0
[>
int(sin(x)/(1+x^2),x=-2 2);
0
và nó dễ dàng tính đợc tích phân trên mọi đoạn bất kỳ, thí dụ
[>
Int(sin(x)/(1+x^2),x=1 2);
+
2
1
2
1
)sin(
dx
x
x
[>
evalf(");
.3055892508
2. Tính tích phân xác định của
______________________
các lớp hàm cụ thể
2.1. Tính tích phân các hàm phân thức
1)
+
1
0
2
65
1
dx
xx
; 2)
+
1
0
2
)1(
dx
x
x
; 3)
+
1
0
3
)1(
dx
x
x
;
4)
+
1
0
3
)12(
dx
x
x
; 5)
dx
x
x
+
1
0
2
5
1
; 6)
++
1
0
24
34
1
dx
xx
;
2.2. Tính tích phân các hàm mũ, logarit
1)
1
0
dxxe
x
; 2)
+
1
0
2
)2( dxexx
x
; 3)
+
1
0
1
dx
e
e
x
x
;
4)
e
dxxx
1
2
ln
; 5)
2
1
2
ln
dx
x
x
; 6)
++
1
0
2
)1)(1(
1
dx
xe
x
;
8)
1
0
.)12(
2
dxex
xx
Với mọi n > 0, hãy chứng minh
0)12(
1
0
12
2
=
+
dxex
xxn
.
9) Cho
)3,2,1(
1
=
+
=
ndx
e
e
I
x
nx
n
.
a) Tính
I
1
.
b) Chứng minh rằng
1
1
1
1
=
n
n
n
I
n
e
I
.
Bài tập và thực hành tính toán
Chơng 9
15
8
2.3. Tính tích phân các hàm lợng giác
Bài 1
a)
0
2
)(sin dxx
; b)
dxx
0
2
)3(cos
; c)
0
4
)(cos dxx
.
Bài 2
Tính
t
dxx
0
4
]
2
3
)(cos4[
và giải phơng trình
f
(
t
)
=
0.
Bài 3
Tính
+
0
2
)(cos1
)sin(
dx
x
xx
.
Bài 4
Tính
0
)sin() dxxxa
;
0
3
)sin() dxxxb
;
0
2
)(sin) dxxxc
;
0
3
)(sin) dxxxd
;
+
0
)sin(1
1
) dx
x
e
;
+
0
2
)]sin(1[
)cos(
) dx
x
xx
f
;
4
0
4
)(cos
1
) dx
x
g
;
2
4
4
)(sin
1
) dx
x
h
;
+
0
2
3)(cos
)sin(
) dx
x
x
i
;
+
2
0
3
)cos(1
)(sin4
) dx
x
x
k
;
+
0
2
)(cos49
)sin(
) dx
x
xx
l
.
Bài 5
0
2
)(tan) dxxa
;
4
0
6
)(tan) dxxb
;
0
11
)(sin) dxxc
;
dxxd )sin(1)
;
+
2
0
)sin(1) dxxe
;
0
22
)(sin) dxxef
x
;
x
e
dxxg
0
))cos(ln()
;
+
dx
x
h
x
13
)(sin
)
2
;
1
0
2
)(arctan) dxxxi
;
2.4. Tính tích phân các hàm vô tỷ
2
3
2
2
1
1
)1 dx
xx
;
+
+
3
7
0
3
13
1
)2 dx
x
x
; 3)
++
7
2
12 x
dx
.
3. Các phơng pháp tính tích phân xác định
_________
3.1. Phơng pháp đổi biến
Bài 1
Tính các tích phân sau bằng phơng pháp đổi biến
Bài tập và thực hành tính toán
Chơng 9
15
9
2
0
222
)1 dxxax
+
4
0
1
1
)2 dx
x
+
1
0
1
)3 dx
x
x
+
1
0
1
)4 dx
x
x
2
1
2
1
)5 dx
x
x
Bài 2
Tìm
a
và
b
sao cho
)sin(1
)cos(
)sin(1
)cos(
)cos(
1
x
xb
x
xa
x +
+
=
. Từ đó hãy tính
=
4
1
)cos(
1
dx
x
I
.
3.2. Phơng pháp tính tích phân từng phần
Tính các tích phân sau bằng phơng pháp tích phân từng phần
0
1
)1 dxex
x
2
0
)cos()2 dxxx
2
1
))cos(ln()3 dxx
2
0
)cos()4 dxxe
x
1
1
)arctan()5 dxxx
6) Bằng cách viết:
==
4
0
2
4
0
3
)(cos
1
.
)cos(
1
)(cos
1
dx
x
x
dx
x
J
và sử dụng công thức tích
phân từng phần, hãy tính
J
.
4. Tính diện tích hình thang cong
___________________
Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi các đờng cong có các phơng trình dới đây:
Bài 1
xxy 2
2
=
và
x
y
=
Bài 2
3,0,0,3
2
====
xxyxxy .
Bài 3
34
2
+= xxy
và
xy = 3
.
Bài 4
0,02
2
=+=+
xyxyy .
Bài 5
10,
10
1
,0,)ln( ==== xxyxy
.
Bài 6
.
2
,2)
2
x
yxya ==
.
2
,)
2
2
x
ayyaxb ==
Bài 7
2
,0,0,1)sin()(sin
2
===++= xxyxxy .
Bài 8
0),),arctan( === xxyxy arccot(
.
Bài tập và thực hành tính toán
Chơng 9
16
0
Bài 9
Tìm diện tích phần Ellipse 1
94
22
=+
yx
nằm ở phía dới parabolla
32
9
2
x
y = .
Bài 10
Cho đờng cong (P) có phơng trình
xy 2
2
=
.
a) Xác định đờng chuẩn, tiêu điểm của (P) và vẽ (P).
b) Tính khoảng cách ngắn nhất giữa (P) và đờng cong 062 =+ yx (
D).
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P), trục
0
x và tiếp tuyến của (P) tại A(2,2).
Bài 11
Tính diện tích
k
S của hình giới hạn bởi các đờng
exxy
x
k
y ====
,1,0),ln(
,
trong đó k là số dơng .
Hãy tìm các số nguyên dơng k sao cho
2
<
eS
k
.
Bài 12
Cho
18
)(
3
2
+
=
x
x
xf
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm y = f(x) với
0x
.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đờng
y=
0.
c) Đặt
=
+
=
n
k
n
nk
k
u
1
33
2
)2(
. Từ kết quả của câu b) suy ra
n
n
u
lim
.
Bài 13
Chứng minh rằng hàm số
=
>
=
0,0
0,
4
)ln(
2
)(
22
x
x
x
x
x
xF
là một nguyên hàm của hàm số
=
>
=
0,0
0),ln(
)(
xkhi
xkhixx
xf
.
Tính diện tích hình chắn bởi
ẵó
thị hàm số
y = f
(
x
) và đoạn [0,1] của trục 0
x
, biết đơn
vị độ dài trên trục 0
x
bằng 2 cm, còn đơn vị độ dài trên trục 0
y
bằng 3 cm.
Bài 14
Cho hàm số
)ln(xey
x
=
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (
C
) của hàm số.
b) Viết phơng trình tiếp tuyến với (
C
) tại
x =
1.
c) Tính diện tích hình giới hạn bởi (
C
) , trục hoành và hai đờng
x=1
,
x= e
.
5. Tính thể tích khối tròn xoay
______________________
Gọi (
S
) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số. Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi
(
S
) khi quay quanh trục 0
x
trong các trờng hợp sau đây:
.0,1),10()1 === yxxxey
x
.2,1,0,ln)2
==== xxyxy
=
==+= xxyxxy ,
2
,0,)(sin)(cos)3
44
.
Bài tập và thực hành tính toán
Chơng 9
16
1
3
,
4
,0,
)(sin)(cos
1
)4
44
=
==
+
= xxy
xx
y
.
.
2
,0,0,)(sin)(cos)5
42
===+= xxyxxxy
=
==++= xxyxxy ,
2
,0,)(sin)(cos1)6
44
.
7) Tính thể tích hình xuyến tạo nên khi quay hình tròn dới đây quanh trục
0x
.1)2()
22
+ yxa
),0()()
222
baaabyxb +
.
8) Gọi (
D
) là miền đợc xác định bởi các đờng
.2,0
2
xxyy ==
a) Tính diện tích miền (
D
).
b) Tính thể tích khối tròn xoay đợc tạo thành khi quay (
D
) quanh
+) trục 0
x ;
+) trục 0
y
.
6. Sử dụng tích phân để tính tổng
__________________
Bài 1
Với mỗi
n
N
, đặt
=
=
1
0
cos
n
i
n
n
i
S
. Tìm
n
S
n
n
lim
.
Bài 2
Tính
n
S
n
n
lim
, trong đó
=
+=
n
i
n
n
i
S
1
)
2
sin1/(1
Bài 3
Tính
dxx
n
)1(
1
0
2
. Từ kết quả đó, chứng tỏ rằng
+
=
+
==
n
i
n
i
n
k
ii
k
C
01
)12(/2
12
)1(
,
trong đó
)!(!
!
mnm
n
C
n
=
.
Bài 4
Chứng minh công thức J. Wallis tính số
=
=
+
=
n
i
n
i
n
i
n
i
1
2
1
2
)12(
12
1
)2(
lim
2
.
7. Đẳng thức và bất đẳng thức tích phân
____________
Bài 1
Chứng minh rằng nếu
f
(
x
) và
g
(
x
) là hai hàm liên tục xác định trên
[a,b]
thì ta có
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )(.)()()(
22
2
.
Bài tập và thực hành tính toán
Chơng 9
16
2
Bài 2
Cho
f
là một hàm liên tục trên [0,1]. Chứng minh rằng:
=
0
2
0
)][sin(2)][sin( dxxfdxxf
.
Bài 3
Cho
a
>
0 và
f
(
x
) là một hàm chẵn, liên tục trên trúc số thực. Chứng minh rằng với mọi
x
ta có
=
+
x
x
x
t
dttfdt
a
tf
0
)(
1
)(
.
Bài 4
Cho
f
là một hàm liên tục trên đoạn [0,1]. Chứng minh rằng:
=
00
)][sin(
2
])[sin( dxxfdxxxf
.
Bài 5
Cho
f
(
x
) là một hàm liên tục trên [
a,b
] và
f
(
a + b
x
)
= f
(
x
). Chứng minh rằng:
+
=
b
a
b
a
dxxf
ba
dxxxf )(
2
)(
)(
.
Bài 6
Ta nói rằng hai hàm
fx()
và
g
x
()
là trực giao với nhau trên đoạn
],[
nếu
=
0)()( dxxgxf
. Hãy chứng tỏ rằng hàm
)cos()( mxxU
m
=
trực giao với các hàm
()
mkkxxU
k
= )cos()(
,
)sin()( nxxV
n
=
, trong đó
k, n, m
là những số tự nhiên.
8. Thực hành tính diện tích và thể tích
_______________
8.1. Tính diện tích
Việc tính diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đồ thị của một hàm số và ba
đờng thẳng
y = 0
(trục hoành),
x = a
,
x = b
cũng chính là tính tích phân xác định
của hàm đó từ
a
đến
b
.
Thí dụ
Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đờng cong
2
3 xxy =
, trục 0
x
và các
đờng thẳng
x = 0
,
x = 3
.
Bớc 1:
[>
Int((3*x-x^2),x=0 3);
Sau dấu (;) ta ấn phím "Enter" thì trên màn hình sẽ hiện công thức tính tích phân (diện
tích) cần tính.
3
0
2
3 dxxx
Bớc 2:
Tính diện tích cũng chính là lấy giá trị số của biểu thức trên, nghĩa là bằng
dòng lệnh (ở đó
area
trong tiếng Anh có nghĩa là
diện tích
):
[>
area:=value(");
Sau dấu (;) ta ấn phím "Enter" thì máy sẽ cho ta đáp số.
Bài tập và thực hành tính toán
Chơng 9
16
3
8.2. Tính thể tích khối tròn xoay
Ta đã biết công thức tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi một hình thang cong giới hạn
bởi các đờng
)(xfy =
, trục 0
x
,
x = a, y = b
đợc tính theo công thức
=
b
a
dxxfy )(
2
.
Do đó việc tính thể tích khối tròn xoay đợc đa về bài toán tính tích phân xác định và
ta cần thực hiện các thao tác sau:
Bớc 1:
Thiết lập công thức tính bằng lệnh có cú pháp nh sau:
[>
Int(Pi*(f(x))^2,x=a b);
Trong đó
f
(
x
) là hàm biểu diễn đờng cong, còn
a, b
là cận dới và cận trên. Sau dấu
(;) ta ấn phím "Enter" thì trên màn hình sẽ hiện công thức tích phân để tính thể tích
khối tròn xoay.
Bớc 2:
Lấy giá trị số của biểu thức này (tức là số đo thể tích) bằng lệnh (trong đó
volume
theo tiếng Anh có nghĩa là
thể tích
):
[>
volume:=value(");
Sau dấu (;) ta ấn phím "Enter" trên màn hình sẽ hiện giá trị thể tích khối tròn xoay.
Hãy xem xét một số thí dụ:
Thí dụ
1) Tính thể tích khối tròn xoay nhận đợc khi quay hình thang cong giới hạn bởi
parabolla
3,2
2
== xxy
quanh trục O
x
.
[>
Int(Pi*2*x,x=0 3);
3
0
2 dxx
[>
volume:=value(");
volume := 9
2) Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi 0
x
, đờng cong
)(sin)(cos1
44
xxy ++=
, và
các đờng
=
= xx ,
2
.
[>
Int(Pi*(1+(cos(x))^4+(sin(x))^4),x=Pi/2 Pi);
[>
volume:=value(");
(Bạn đọc hãy tự cho máy chạy và xem kết quả).
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét