Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao
ở phổ thông không học phép giải tổng quát cho phơng trình bậc ba, bậc bốn
còn phơng trình bậc 5 không có phép giải tổng quát. Tuy nhiên trong một số trờng
hợp đặc biệt có thể đa phơng trình cần giải về những phơng trình bậc 1, bậc 2. Ta
phải dựa vào đặc thù của phơng trình cần giải để có phơng pháp thích hợp.
Giải và giảng dạy các bài toán về giải phơng trình bậc cao quy về bậc nhất
một ẩn hoặc bậc hai nằm trong quá trình giải phơng trình bậc nhất, bậc 2. Nói
chung bao gồm nhiều dạng và phong phú đợc các nhà toán học và s phạm quan tâm
và đề cập tới trong nhiều tài liệu, tập san toán học v.v Căn cứ vào mục đích ý
nghĩa kết quả điều tra và thực tế giảng dạy chơng phơng trình. Trong quá trình
giảng dạy, bản thân tôi đã nghiên cứu, áp dụng lý luận trong quá trình dạy học, các
phơng pháp đặc trng bộ môn, áp dụng các kiến thức đã học để đa các phơng trình
bậc cao về bậc nhất, bậc hai bằng nhiều cách.
Các dạng cơ bản của phơng trình bậc cao thờng gặp là các phơng trình trùng
phơng, phơng trình đối xứng, phơng trình thuận nghịch
B- Các bài toán và phơng pháp giải :
1- Phơng pháp đa về phơng trình tích :
1.1. áp dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử :
Để giải các phơng trình dạng này trớc hết ta phải nắm vững các phơng pháp
phân tích đa thức thành nhân tử bằng mọi cách đa phơng trình đã cho về dạng tích.
f(x).g(x) h(x) = 0 <=> f(x) = 0
g(x) = 0
= 0
h(x) = 0
Vì một tích bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất 1 phần tử bằng 0. Nghiệm của phơng
trình đã cho chính là tập hợp nghiệm của các phơng trình :
f(x) = 0; g(x) = 0; ; h(x) = 0.
* Bài toán 1 : Giải phơng trình (x-1)
3
+ x
3
+ ( x+1)
3
= (x+2)
3
(1)
Giải : (x-1)
3
+ x
3
+ ( x+1)
3
= (x+2)
3
<=> x
3
3x
2
+3x 1+ x
3
+ x
3
+ 3x
2
+ 3x + 1 = x
3
+ 6x
2
+ 12x + 8
<=> x
3
- 3x
2
- 3x 4 = 0
<=> x
3
1 3x
2
3x 3 = 0
5
Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao
<=> (x-1) ( x
2
+ x+ 1) 3 (x
2
+ x + 1) = 0
<=> ( x
2
+ x + 1) ( x 4) = 0 (2)
Với học sinh lớp 8 ta làm nh sau:
Do x
2
+ x + 1 0 nên phơng trình có một nghiệp x 4 = 0 <=> x = 4
Với học sinh lớp 9 :
(2) <=> x
2
+ x + 1 = 0 (*)
x 4 = 0 (**)
Giải phơng trình (*) : = 1 4 = -3 < 0 nên (*) vô nghiệm.
Giải (**) : x = 4.
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm là x = 4.
1.2 . Nhẩm nghiệm rồi dùng lợc đồ Hoócne để đa về phơng trình tích.
* Lợc đồ Hoócne :
Nếu f(x) có nghiệm là x = x
0
thì f(x) chứa nhân tử ( x x
0
) tức là :
f(x) = ( x x
0
).g(x).
Trong đó : f(x) = a
n
x
n
+ a
n -1
x
n -1
+ + a
1
x + a
0
= 0
g(x) = b
n
x
n
+ b
n - 2
x
n - 2
+ + b
1
x + b
0
= 0
với : b
n 1
= a
n
b
n 2
= x
0
b
n 1
+ a
n 1
.
b
i 1
= x
0
b
1
+ a
i
b
0
= x
0
b
1
+ a
1
.
Ta có bảng sau ( Lợc đồ Hoócne).
x
i
a
n
a
n - 1
a
1
a
0
x
0
b
n-1
x
0
b
1
x
0
b
1
x = x
0
b
n-1
=a
n
b
n-2
b
0
0
Việc nhẩm nghiệm các phơng trình dựa trên các cơ sở sau :
1.2.1. Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là một nghiệm của đa thức,
đa thức chứa thừa số x 1 .
1.2.2. Nếu đa thức có tổng các hệ số của một số hạng bậc chẵn bằng tổng các
hệ số của số hạng bậc lẻ thì -1 là một nghiệm của đa thức, đa thức chứa thừa số ( x
+ 1).
1.2.3. Mọi nghiệm nguyên của đa thức đều là ớc số của hệ số tự do a
0
.
1.2.4. Mọi nghiệm hữu tỉ của đa thức với hệ số nguyên :
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
1
x + a
0
= 0 đều là số nguyên.
6
Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao
* Bài toán 2 :
Giải phơng trình : x
4
+ x
3
x 1 = 0(2)
Nhận thấy : a
4
+ a
3
+ a
2
+ a
1
+ a
0
= 1 + 1 + 0 + (-1) + (-1) = 0
Và : a
4
+ a
2
+ a
0
= 1 + 0 + (-1) = a
3
+ a
1
= 1 + (-1) .
áp dụng mục 1.2.1 và 1.2.2 ta có 2 nghiệm của phơng trình (2) là :
x
1
= 1; x
2
= -1.
áp dụng lợc đồ Hoócne ta có :
x
i
a
4
=1 a
3
=1
a
2
=0 a
1
=-1 a
0
=-1
x =1 1 2 2 1 0
x = - 1 1 1 1 0
Phơng tình (2) có dạng phân tích nh sau :
(x-1) (x+1) (x
2
+ x + 1 ) = 0
Ta dễ dàng nhận thấy phơng trình(2) có 2 nghiệm là : x
1
= 1; x
2
= -1.
* Bài toán 3 :
Giải phơng trình : x
3
5x
2
+ 8x 16 = 0 (3)
ở bài toán này ta không thể áp dụng đợc việc nhẩm nghiệm theo nhận xét ở
1.2.1 và 1.2.2. áp dụng nhận xét mục 1.2.3 và 1.2.4 ta có:
Ư (4) { 1; 2; 3; 4; 8; 16}
Kiểm tra thấy x = 4 là 1 nghiệm
áp dụng lợc đồ Hoocne ta đa phơng trình (3) về dạng
(x 4) ( x
2
x + 4) = 0
<=> x 4 = 0 (*)
x
2
x + 4 = 0 (**)
(*) <=> x 4 = 0 <=> x = 4
(**) <=> x
2
x + 4 = 0
= 1 4.4 = 1 16 = - 15 < 0 => (**) vô nghiệm
Vậy nghiệm của pt (3) là x = 4
* Bài toán 4: Giải pt: 2x
3
5x
2
+ 8x 3 = 0 ( 4)
Việc áp dụng nhận xét các mục 1.2.1; 1.2.2 ; 1.2.3 không thể giải quyết đợc
vấn đề ( vì ở phơng trình này không có nghiệm nguyên). Ta nghĩ đến cơ hội cuối
cùng nếu phơng trình có nghiệm hữu tỉ và áp dụng nhận xét ở mục 1.2.4
(4) <=> 8x
3
20x
2
+ 32x 12 = 0
7
Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao
<=> (2x)
3
5 (2x)
2
+ 16(2x) 12 = 0
Đặt y= 2x ta có:
y
3
- 5y
2
+ 16y 12 = 0 ( 4)
Nhận thấy: a
3
+ a
2
+ a
1
+ a
0
= 1 + ( -5) +16 + ( -12) = 0
áp dụng 1.2.1 ta có y = 1
áp dụng lợc đồ Hoócne (4) về dạng
( y 1) ( y
2
4y + 12) = 0
<=> y 1 = 0 (*)
y
2
4y + 12 = 0 (**)
(*) <=> y 1 = 0 <=> y = 1 => x = 1/2
(**) <=> y
2
4y + 12 = 0 vô nghiệm vì
<=> ( y 2)
2
+ 8 > 0 y
Vậy phơng trình ( 4) có một nghiệm và x = 1/2
1.2.5. Việc nhẩm nghiệm nh ở trên sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu số hạng tạ
do a
0
lớn và có nhiều ớc số. Trong trờng hợp này ta sẽ áp dụng nhận xét sau để đi
loại trừ bớt các ớc không là nghiệm của phơng trình một cách nhanh chóng.
- Nếu x
0
là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1) 0; f(-1) 0 thì
1
)1(
0
x
f
và
1
)1(
0
+
x
f
đều là các giá trị nguyên.
*Bài toán 5 : Giải phơng trình : 4x
3
13x
2
+ 9x 18 = 0 (0)
Giải : U(18) { 1, 2, 3, 6, 9, 18}
Hiển nhiên 1, 1 không là nghiệm của (5) =>f(1) 0, f(-1) 0.
Ta thấy :
Z
f
=
=
9
2
18
13
)1(
Z
f
=
=
+
11
4
44
13
)1(`
=> Phơng trình (5) có khả năng có nhiệm là x
1
= 3.
áp dụng lợc đồ Hoócne ta đa (5) về dạng sau :
(x-3) ( 4x
2
x + 6 ) = 0
<=> x 3 = 0 (*)
8
Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao
4x
2
x + 6 = 0 (**)
(*) <=> x = 3
(**) <=> 4x
2
x = 6 = 0
= (-1)
2
4.4.6 < 0 => (**) vô nghiệm.
Nên phơng trình (5) có một nghiệm là : x = 3.
* Chú ý :
- Việc nhẩm nghiệm phơng trình có thể nhẩm miệng rồi dùng thuật toán chia
đa thức cho đa thức để hạ bậc và đa phơng trình về dạng tích.
- Có thể dùng lợc đồ Hoócne để xác định ớc số nào của a
0
là nghiệm, ớc số
nào không là nghiệm và đa ngay ra dạng phân tích.
VD : Xét phơng trình : x
3
5x
2
8x - 4 = 0 (*)
Ư(4) {1, 2, 4}
áp dụng lợc đồ Hoócne ta có :
x
0
a
3
=1 a
2
=-5 a
1
=8 a
0
=-4
x =1 1 -4 4 0
x = - 1 1 -6 14 -18
x = 2 1 -3 2 0
x = -2 1 -7 22 -48
x = 4 1 -1 4 12
x = -4 1 -9 44 172
Nhận thấy x= 1 và x = 2 là nghiệm của phơng trình (*) lúc đó (*) viết dới
dạng phơng trình tích nh sau :
( x 1 ) ( x 2) ( x 2 ) = 0
2- Phơng pháp đặt ẩn phụ :
- Phơng pháp này thờng đợc sử dụng với các dạng phơng trình.
* Dạng 1 :
Phơng trình có dạng ax
4
+ bx
2
+ c = 0 ( a0) gọi là phơng trình trùng phơng.
+ Cách giải : Đặt ẩn phụ y = x
2
( y 0) đa về phơng trình bậc hai đối với y
nh sau :
9
Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao
ay
2
+ by + c = 0
* Bài toán 7 : Giải phơng trình :
x
4
5x
2
+ 4 = 0 (1)
Giải : Đặt y = x
2
( y 0)
(1) <=> y
2
5y + 4 = 0
<=> (y-1)(y-4) = 0
<=> y 1 = 0 <=> y = 1
y 4 = 0 y = 4
x
2
= 1 <=> x
1
= 1; x
2
= -1
x
2
= 4 <=> x
3
= 2; x
4
= -2
Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm :
x = 1; x = -1; x = 2; x = -2.
* Dạng 2 : Phơng trình có dạng :
( x +a) (x+b) (x+c) (x+d) = m
Với a + b = c + d hoặc a + c = b + d hoặc a + d = b + c.
* Bài toán 8 : Giải phơng trình
( x 1) ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) = 9 (1)
Giải :
(1) <=> ( x 1) ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) = 9
<=> ( x
2
+ 4x 5) ( x
2
+ 4x + 3) = 9
Đặt y = x
2
+ 4x 5
Ta đợc phơng trình : y ( y+8) = 9
<=> y
2
+ 8y 9 = 0
<=> (y-1)(y+9) = 0
<=> y 1 = 0 <=> y = 1
y +9 = 0 y = -9
x
2
+ 4x 5 = 1 <=> x
2
+ 4x - 6 = 0
<=> x
1,2
=
102
x
2
+ 4x 5 = -9 <=> x
2
+ 4x + 4 = 0
<=> x
3,4
= - 2
10
Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao
Vậy phơng trình ( 1) có 3 nghiệm :
x
1
=
102
+
; x
2
=
102
; x
3
= -2
* Dạng 3 : Phơng trình dạng ( x + a)
4
+ ( x + b)
4
= c
+ Cách giải :Ta đa phơng trình trên về dạng phơng trình trùng phơng bằng
cách đặt y = x + ( a+b)/2
* Bài toán 9 : Giải phơng trình :
( x + 1)
4
+ ( x +3)
4
= 16
Giải : Đặt y = x + 2 ta đợc phơng trình.
( y-1)
4
+ ( y+1)
4
= 16
<=> 2y
4
+ 12y
2
+ 2 = 16
<=> y
4
+ 6y
2
7 = 0 ( Phơng trình trùng phơng)
Đặt m = y ( m0) ta đợc phơng trình.
m
2
+ 6m 7 = 0 (8)
Dùng phơng pháp nhẩm nghiệm ( a+b+c = 0)
(*) <=> m
1
= 1 (thoả mãn); m
2
= -7 (loại)
y
2
= 1 => y
1
= 1; y
2
= -1
x + 2 = 1 => x = -1
x + 2 = -1 => x = -3
Vậy phơng trình (1) có 2 nghiệm là :
x = - 1; x = -3
Dạng 4: Phơng trình đối xứng bậc chẵn có dạng:
a
0
x
2n
+ a
1
x
2n-1
+ + a
n 1
x
n
+ a
n
x
n 1
+ + a
1
x + a
0
= 0
Cách giải: Vì 0 không là nghiệm của phơng trình nên chia cả hai vế của ph-
ơng trình cho x
2
rồi đa về phơng trình bậc n bằng cách đặt y = x + 1/x
* Bài toán 10: Giải phơng trình
2x
4
+ 3x
3
3x
2
+ 3x + 2 = 0 ( 1)
Giải: x = 0 không là nghiệm của ( 1)
Với x 0 chia 2 vế của (1) cho x
2
ta đợc phơng trình tơng đơng
0
23
332
2
2
=+++
x
x
xx
11
Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao
05)
1
(3)
1
(2
05)
1
(3)
1
2(2
2
2
2
=+++
=++++
x
x
x
x
x
x
x
x
Đặt y = Đa phơng trình về 2y
2
+ 3y 5 = 0 (2)
= 9 + 40 = 49 > 0
=> Phơng trình (2) có 2 nghiệm
2
5
4
73
;1
4
73
21
=
==
+
=
yy
( nhân 2 vế với x 0)
<=> x
2
x + 1 = 0 ( *)
= 1 4 = -3 < 0 => Phơng trình (*) vô nghiệm
( nhân 2 vế với 2x 0)
<=> 2x
2
+ 5x + 2 = 0 ( **)
=25 16 = 9 > 0
=> phơng trình ( **) có 2 nghiệm
;
Vậy phơng trình (1) có 2 nghiệm : x
1
= -1/2 ; x
2
= -2
* Dạng 5: Phơng trình đối xứng bậc lẻ có dạng:
a
0
x
2n-1
+ a
n-1
x
2n
+ + a
n
x
n -1
+ a
n
x
n
+ + a
1
x + a
0
= 0
Cách giải: Phơng trình này bao giờ cũng có nghiệm x
0
= -1 và khi chia 2 vế
của phơng trình cho ( x +1) ta đợc phơng trình đối xứng bậc chẵn 2n.
* Bài toán 11: Giải phơng trình
2x
5
+ 5x
4
13x
3
13x
2
+ 5x + 2 = 0 ( 1)
Giải: Ta có 2 + (-13) + 5 = 5 + (-13) +2
=> a
5
+ a
3
+ a
1
= a
4
+ a
2
+ a
0
=> x
0
= -1 là nghiệm của phơng trình
Với x - 1 chia cả 2 vế của phơng trình ( 1) cho ( x+1) ta có phơng trình
2x
4
+ 3x
3
16x
2
+ 3x + 2 = 0 ( 3)
12
x
x
1
+
1
1
=+
x
x
2
51
=+
x
x
2
1
4
35
1
=
+
=
x
2
4
35
2
=
=
x
32
1
+=
x
Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao
Dễ dàng thấy rằng x = 0 không là nghiệm của (3)
Chia cả 2 vế của ( 3) cho x
2
0, ta có phơng trình tơng đơng
2x
2
+ 3x 16 +
0
1
.2
1
.3
2
=+
x
x
020)
1
(3)
1
(2
2
=+++
x
x
x
x
Đặt y = ta đợc phơng trình
2y
2
+ 3y 20 = 0 ( 4)
= 9 + 160 = 169 > 0
=> phơng trình ( 4 ) có 2 nghiệm phân biệt
;
Từ đó giải 2 phơng trình
( nhân 2 vế với x 0)
<=> x
2
+ 4x + 1 = 0 ( *)
= 4 - 1 = 3 > 0
=> phơng trình ( *) có 2 nghiệm : ;
( nhân 2 vế với 2x 0)
<=> 2x
2
5x + 2 = 0 ( **)
= 25 16 = 9 > 0
=> phơng trình ( **) có 2 nghiệm
Vậy phơng trình (1) có 4 nghiệm:
; ; ;
* Nhận xét:
Bài tập này tơng đối khó với học sinh nên khi dạy giáo viên cần lu ý khai thác
hết giả thiết, nhận xét có thể sử dụng phơng pháp nào, hằng đẳng thức nào để phân
tích cho thích hợp. Mỗi bài tập giải xong giáo viên nên chốt lại vấn đề và các kiến
thức sử dụng trong quá trình giải nhằm giúp học sinh nắm đợc bài và các kiến thức
13
x
x
1
+
2
5
4
133
1
=
+
=
y
4
4
133
2
=
=
y
4
1
=+
x
x
32
1
+=
x
32
2
=
x
2
51
=+
x
x
3
4
35
1
=
+
=
x
2
1
4
35
2
=
=
x
32
2
=
x
3
3
=
x
2
1
4
=
x
Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao
cần sử dụng trong quá trình giải bài tổng quát, bài tơng tự, đặc biệt dùng để bồi d-
ỡng học sinh giỏi nhằm phát triển t duy.
* Dạng 6: Phơng trình có dạng:
(x + a) (x + b) ( x+ c) ( x + d) = mx
2
Cách giải: Đặt ẩn phụ y = x + ad/2 hoặc y = (x + a) (x + d)
*Bài toán 12: Giải phơng trình
4(x + 5) ( x + 6) ( x + 10) ( x + 12) = 3x
2
(1)
Giải:
* Cách 1: (1) <=> 4 (x
2
+ 17x + 60) ( x
2
+ 16 x + 60 ) = 3x
2
<=> 4(x + 17 +
)
60
x
(x + 16 +
)
60
x
= 3 ( vì x 0) ( 2)
Đặt y = ( x + 16 +
)
60
x
(2) <=> 4y ( y + 1) = 3
<=> 4y
2
+ 4y 3 = 0
<=> y
1
= 1/2 ; y
2
= -3/2
Với y = 1/2 ta có : 2x
2
+ 31x + 120 = 0
<=> x
1
= - 8; x
2
= -15/2
Với y = -3/2 ta có : 2x
2
+ 35x + 120 = 0
4
26535
3
+
=
x
;
4
26535
4
=
x
* Cách 2: Đặt y = x
2
+ 16x + 60, ta đợc phơng trình
4y ( y + x) 3x
2
= 0 (3)
<=> ( 2y x) ( 2y + 3x) = 0
<=> x
1
= 2y
x
2
= -2y/3
Thay vào ( 3) ta tìm đợc 4 nghiệm
*Bài toán 13: Giải phơng trình
( x 3) ( x +2) ( x 4)( x + 6) = 14x
2
(1)
Giải:
* Cách 1: Khai triển, thu gọn về phơng trình f(x) = 0 với vế trái là đa thức bậc
bốn
* Cách 2: Nhận thấy ( -3)(-4) = 12
2.6 = 12
(1) <=> ( x 3)( x 4)( x + 2)( x + 6) = -14x
2
14
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét