Bai tap Quan he song song Moi

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "Bai tap Quan he song song Moi": http://123doc.vn/document/538578-bai-tap-quan-he-song-song-moi.htm

BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Vấn đề 1 : TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG α VÀ β :
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
α
và
β
ta đi tìm hai điểm chung I ; J của
α
và
β



α

∩∪

β
= I J
Khi tìm điểm chung ta chú ý :


Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát hiện điểm chung

M
∈
d và d
⊂

α


M
∈

α





β⊂α⊂
=∩
b;a
Mba (P) trong


M là điểm chung
1. 1: 1)Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm của AB. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (ECD) với các mặt
phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD)
2)Cho tứ diện SABC và một điểm I trên đoạn SA; d là đường thẳng trong (ABC) cắt AB; BC tại J ; K. Tìm
giao tuyến của mặt phẳng (I,d) với các mặt phẳng sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC)
1. 2: 1)Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S khơng nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm giao tuyến của :
a) (SAC) và (SBD) b) (SAB) và (SCD) c) (SAD) và (SBC)
2)Cho hình chóp S.ABCDE. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) với các mặt phẳng (SAD) ;
(SCE)
1. 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi ; M là điểm trên cạnh CD. Tìm giao tuyến của các mặt
phẳng :
a)(SAM) và (SBD) b)(SBM) ; (SAC)
1. 4: Cho tứ diện ABCD; M là điểm nằm trong ∆ABC; N là điểm nằm trong ∆ACD. Tìm giao tuyến của : a) (AMN)
và (BCD) b) (CMN) và (ABD)
1. 5: Cho tứ diện ABCD .M nằm trên AB sao cho AM =
4
1
MB ; N nằm trên AC sao cho AN = 3NC; điểm I nằm
trong ∆BCD. Tìm giao tuyến của :
a) (MNI) và (BCD) b) (MNI) và (ABD) c) (MNI) và (ACD)
1. 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J lần lượt là trung điểm của AD; BC .
a) Tìm giao tuyến của : (IBC) và (JAD)
b)M là điểm trên AB; N là điểm trên AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN)
1. 7: Cho hai đường thẳng a ; b ∈ (P) và điểm S khơng thuộc (P). Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng chứa a và
S với mặt phẳng chứa b và S ?
1. 8: Cho tứ diện ABCD ; trên AB ; AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho :
NC
AN
MB
AM
≠
. Tìm giao tuyến của
(DMN) và (BCD)
1. 9; Cho bốn điểm ABCD khơng đồng phẳng ; gọi I ; K là trung điểm AD ; BC . Xác định giao tuyến của hai mặt
phẳng (IBC) và (KAD) ?
1. 10 : Trong mặt phẳng α cho hình thang ABCD có đáy là AB ; CD ; S là điểm nằm ngồi mặt phẳng hình thang.
Tìm giao tuyến của :
a) (SAD) và (SBC) b) (SAC) và (SBD)
1.11. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N là trung điểm AB ; CD và G là
trọng tâm ∆SAD. Tìm giao tuyến của :
a) (GMN) và (SAC) b) (GMN) và (SBC)
Vấn đề 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
Chứng minh A; B; C thẳng hàng :
Chỉ ra A ; B ; C
∈

α

Chỉ ra A ; B ; C
∈

β
Kết luận : A; B; C
∈

α

∩∪

β


A; B; C thẳng hàng
Chứng minh a ; b ; MN đồng quy :
Đặt a
∪∩
b = P
Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng
α
β
I
J
• •
α
β
A
C
• ••
B
M
N
•
•
a
b
P
Kết luận :MN ; a ; b đồng quy tại P
2. 1: Cho hai mặt phẳng α và β cắt nhau theo giao tuyến d .Trên α lấy hai điểm A ; B nhưng khơng thuộc d. O là
điểm ở ngồi hai mặt phẳng . Các đường thẳng OA ; OB lần lượt cắt β tại A’ ; B’. AB cắt d tại C
a)Chứng minh O; A; B khơng thẳng hàng ?
b)Chứng minh A’ ; B’ ; C’ thẳng hàng ? Từ đó suy ra AB ; A’B’; d đồng quy
2. 2: Trong khơng gian cho ba tia Ox ; Oy ; Oz khơng đồng phẳng. Trên Ox lấy A ; A’ ; trên Oy lấy B ; B’ trên Oz
lấy C ; C’ sao cho AB cắt A’B’ tại D ; BC cắt B’C’ tại E ; AC cắt A’C’ tại F. Chứng minh D; E ; F thẳng hàng ?
2. 3: Cho A; B; C khơng thẳng hàng ở ngồi mặt phẳng α . Gọi M ; N ; P lần lượt là giao điểm AB ; BC ; AC với α.
Chứng minh M; N; P thẳng hàng ?
2. 4: 1) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành ; O là giao điểm hai đường chéo ; M ; N lần lượt là
trung điểm SA ; SD. Chứng minh ba đường thẳng SO ; BN ; CM đồng quy
2)Cho tứ diện ABCD.Mặt phẳng α khơng song song AB cắt AC ; BC ; AD ; BD lần lượt tại M ; N ; R ; S .
Chứng minh AB ; MN ; RS đồng quy ?
2. 5: Chứng minh trong một tứ diện các đừơng thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện đồng quy ?
2.6. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N là trung điểm AB ; CD và G là
trọng tâm ∆SAD. Tìm giao tuyến của :
a) (GMN) và (SAB) b) (GMN) và (SCD)
c) Gọi giao điểm của AB và CD là I ; J là giao điểm của hai giao tuyến của câu a và câu b. Chứng minh S ; I ; J
thẳng hàng ?
Vấn đề 3: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU,
VÀ CÁC ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG
Chứng minh 2 đường thẳng a ; b chéo nhau :

Giả sử : a khơng chéo b

Từ đó suy ra hai đường thẳng a và b nằm trong
cùng mặt phẳng
α
( đồng phẳng )

Từ đó suy ra điều mâu thuẫn với gỉa thiết hoặc
mâu thuẫn với một điều đúng nào đó

Chứng minh A, B, C, D nằm trong cùng một mặt phẳng – đồng phẳng


Chứng minh hai đường
thẳng tạo thành từ bốn
điểm đó cắt nhau hoặc
song song với nhau
3. 1: Cho bốn điểm A, B, C, D khơng đồng phẳng
a)Chứng minh ba trong số 4 điểm này khơng thẳng hàng
b)Chứng minh AB chéo với CD ?
3. 2: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b.Trên a lấy hai điểm A, B ; trên b lấy hai điểm C, D
a)Chứng minh AC chéo BD ?
b)Lấy M nằm trên đoạn AC; N nằm trên đoạn BD. Đường thẳng MN có song song AB hoặc CD khơng ?
c)O là trung điểm MN. Chứng minh A, O, C, N đồng phẳng
3. 3: Cho đường thẳng a cắt hai đường thẳng b và c. Hỏi ba đường thẳng a, b, c có đồng phẳng khơng ? Tại sao ?
3. 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là trung điểm AD; BC.
a) Chứng minh AB chéo CD ? b) Chứng minh IB chéo JA ?
b
a
α
•
A
α
B
C
D
•
•
•
•
A
α
B
C
D
•
•
•
Vấn đề 4: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG D VÀ MẶT PHẲNG α
Giả sử phải tìm giao điểm d ∩ α = ?
Phương pháp 1:
Tìm a
⊂

α

Chỉ ra được a ,d nằm trong cùng mặt phẳng và
chúng cắt nhau tại M

d
∩∪

α
= M ( hình vẽ )
Phương pháp 2:
Tìm
β
chứa d thích hợp
Giải bài tốn tìm giao tuyến a của
α
và
β

Trong
β
: a
∪∩
d = M

d
∪

α
= M ( hình vẽ b)
4. 1: Cho tứ diện SABC; M ; N lần lượt là các điểm nằm trong ∆SAB ; ∆SBC. MN cắt (ABC) tại P. Xác định giao
điểm P
4. 2: Cho tứ diện ABCD ; M là trung điểm AB; N và P lần lượt là các điểm nằm trên AC; AD sao cho AN : AC =
3 : 4 ; AP : AD = 2 : 3. Tìm giao điểm :
a) MN với (BCD) b) BD với (MNP)
c) Gọi Q là trung điểm NP.Tìm giao điểm của MQ với (BCD)
4. 3: A; B ; C ; D là bốn điểm khơng đồng phẳng. M; N lần lượt là trung điểm của AC; BC. Trên đoạn BD lấy P sao
cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của :
a) CD với (MNP) b) AD với (MNP)
4. 4: Cho hình chóp SABC ; O là điểm trong ∆ABC ; D và E là các điểm năm trên SB ; SC.Tìm giao điểm của a)
DE với (SAO) b) SO với (ADE)
4. 5: Cho tứ diện SABC. I ; H lần lượt là trung điểm SA; AB. Trên đoạn SC lấy điểm K sao cho CK = 3KS.
a)Tìm giao điểm của đường thẳng BC với (IHK) ?
b)Gọi M là trung điểm HI. Tìm giao điểm của đường thẳng KM với (ABC) ?
4. 6: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB. I; J; K là ba điểm trên SA; SB; SC .Tìm giao
điểm IK và (SBD); giao điểm (ỊJK) và SD; SC
4. 7: Gọi I ; J lần lượt là hai điểm nằm trong ∆ABC; ∆ABD của tứ diện ABCD. M là điểm tuỳ ý trên CD. Tìm giao
điểm IJ và mặt phẳng (AMB)
4. 8: Hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD. M là trung điểm SD
a)Tìm giao điểm I của BM và (SAC) ? Chứng minh : BI = 2IM ?
b)Tìm giao điểm J của của SA và (BCM) ? Chứng minh J là trung điểm SA ?
c) N là điểm tuỳ ý trên BC. Tìm giao điểm của MN với (SAC) ?
Vấn đề 5: THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG α VỚI KHỐI ĐA DIỆN
Lần lượt xét giao tuyến của
α
với các
mặt của khối đa diện đồng thời xét giao điểm của
các cạnh của đa diện với mặt phẳng
α

Khi các đoạn giao tuyến tìm được khép
kín thành đa giác ta được thiết diện phải tìm.
Việc chứng minh tiết diện có hình
dạng đặc biệt như hình bình hành; hình thang ;
. . . trong mặt phẳng
α
cũng nhờ vào q trình
đi tìm giao tuyến và giao điểm ở trên
Trong phần này ta chỉ xét hai cách làm cơ bản :
I. Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến
•
α
d
a
M
•
α
M
β
d
a
A
α
B
D
C
E
F
II.Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ
5. 1: 1) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm AA’ ; AD ; DC . Tìm thiết diện
tạo bởi mặt phẳng đi qua M; N; P với hình lập phương ?
2) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm DC ; AD ; BB’. Tìm thiết diện tạo
bởi mặt phẳng (MNP) với hình hộp và giao tuyến của (MNP) với mặt phẳng (A’B’C’D’)
5. 2: 1)Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành . Gọi E; F; K lần lượt là trung điểm của SA ; AB ; BC.
Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng đi qua ba điểm E; F ; K
2) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’ ; B’ ; C’ lần lượt là các điểm nằm trên SA ; SB; SC. Xác định thiết diện
tạo bởi mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp
*5. 3: Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm trên BD và ở ngồi BD sao cho ID = 3IB; M ; N là hai điểm thuộc cạnh AD ;
DC sao cho MA =
2
1
MD ; ND =
2
1
NC
a)Tìm giao tuyến PQ của (IMN) với (ABC) ?
b)Xác dịnh thiết diện tạo bởi (IMN) với tứ diện ?
c)Chứng minh MN ; PQ ; AC đồng qui ?
*5. 4: 1)Cho tứ diện ABCD ; điểm I ; J lần lượt là trọng tâm ∆ABC ; ∆DBC ; M là trung điểm AD. Tìm tiết diện tạo
bởi (MJI) và tứ diện ?
2) Cho hình chóp S.ABCDE. Lấy ba điểm M ; N ; K trên SA ; BC ; SD. Xác định thiết diện tạo bởi mặt
phẳng (MNK) với hình chóp
5. 5: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy . Gọi M ; N là trung điểm SB ; SC .
a)Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC) ?
b)Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AMN) ?
c)Tìm tiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMN) với hình chóp
*5. 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành . M là trung điểm SC
a)Tìm giao điểm I của AM với (SBD) ? Chứng minh IA = 2IM
b)Tìm giao điểm F của SD với (AMB) ? Chứng minh F là trung điểm SD ?
c)Xác định hình dạng tiết diện tạo bởi (AMB) với hình chóp
d)Gọi N là một điểm trên cạnh AB .Tìm giao điểm của MN với (SBD) ?
*5.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm SB ; SD ; OC
a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC) ?
b) Dựng thiết diện của (MNP) với hình chóp ?
c) Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA ; BC ; CD ? ĐS: c) 3 : 1 ; 1 : 1 ; 1 : 1
5.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; gọi M là trung điểm SB ; G là trọng tâm ∆SAD
a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) ?
b) Chứng minh (CGM) chứa đường thẳng CD ?
c) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm SA ?
d) Dựng tiết diện của (CGM) với hình chóp ?
*5.9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; I ; J là trọng tâm ∆SAB ; ∆SAD
a) Tìm giao điểm của JI với (SAC) ?
b) Dựng thiết diện tạo bởi (JIO) với hình chóp
5.10. Cho hình chóp SABCD. Gọi I ; M ; N là ba điểm trên SA ; AB ; CD
a) Tìm giao tuyến của (SAN) và (SDM) ?
b) Hãy xác định thiết diện tạo bởi (IMN) với hình chóp
BÀI TẬP TỔNG HỢP
1: Cho tứ diện ABCD ; I là điểm nằm ngồi đoạn BD. Mặt phẳng (α) qua I cắt AB; BC; CD; DA tại M; N; P; Q.
a) Chứng minh I ; M ; Q thẳng hảng và ba điểm I ; N ; P cũng thẳng hàng ?
b) Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui ?
2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . M là trung điểm
SD; E là điểm trên cạnh BC
a) Tìm giao điểm N của SC với (AME) ?
b) Tìm giao tuyến của (AME) với (SAC) ?
c) Tìm giao điểm của K của SA với (MBC) ? Chứng minh K là trung điểm SA
3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .F là trung điểm CD; E là điểm trên cạnh SC sao cho SE
= 2EC .Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình
4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .I là trung điểm SD; E là điểm trên cạnh SB sao cho SE
= 3EB .
a) Tìm giao điểm F của CD với mặt phẳng (AIE) ?
b) Tìm giao tuyến d của (AIE) với (SBC) ?
c) Chứng minh BC ; AF ; d đồng qui ?
5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi .F là trung điểm SC; E là điểm trên cạnh BC sao cho BE =
2EC .
a)Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình chóp ?
b) Tìm giao điểm của SB với (AEF) ?
6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; M là trung điểm SB; G là trọng tâm ∆SAD
a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) và chứng minh I nằm trên đường thẳng CD và IC = 2ID ?
b) Tìm giao điểm J của (OMG) với AD ? Tính tỉ số
JD
JA
c)Tìm giao điểm K của (OMG) với SA ? Tính
KS
KA
HD: b) 2 c) 2
7: Cho tứ diện ABCD; trên AD lấy N sao cho
AN = 2ND ; M là trung điểm AC ; trên BC lấy Q sao cho BQ =
4
1
BC
a) Tìm giao điểm I của MN với (BCD) ? Tính IC:ID
b) Tìm giao điểm J của BD với (MNP) ? Tính JB:JD
8 Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là hai điểm cố định nằm trên AB ; AC và ỊJ khơng song song với BC. Mặt phẳng α
quay quanh IJ cắt cạnh CD ; BD tại M ; N
a) Chứng minh MN ln đi qua một điểm cố định ?
b) Tìm tập hợp giao điểm của IN và JM ?
c)Tìm tập hợp giao điểm của IM và JN ?
9. Cho hình chóp SABC. Gọi A’ ; B’ ; C’ là các điểm di động trên SA ; SB ; SC thoả :
SA’ =
1n
1
+
SA ; SB’ =
1n2
1
+
SB ; SC’ =
1n3
1
+
SC
a) Chứng minh A’B’ đi qua một điểm cố định I và A’C’ đi qua điểm cố định J khi n thay đổi ?
b) Chứng minh (A’B’C’) chừa một đường thẳng cố định
HD: a) dùng định lí menelaus b) đường IJ
BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Vấn đề 1: Chøng minh ®êng th¼ng song song víi mỈt ph¼ng
Phương pháp :
Có thể dùng một trong các cách sau :
- Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng , rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song rong hình
học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo của định lý Ta-lét )
- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song song với đường thẳng thứ 3.
- Áp dụng định lý về giao tuyến .
Bµi1. Cho tø diƯn SABC cã I, J lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AB vµ BC. CMR: víi ∀M ∈ SB (M ≠ B) ta ®Ịu cã IJ //
(ACM)
Bµi 2. Cho tø diƯn ABCD gäi M vµ N lÇn lỵt lµ träng t©m ∆ ABD vµ ∆ ACD. CMR: M N // (BCD) vµ MN // (ABC)
Bµi 3. Cho hai h×nh b×nh hµnh ABCD vµ ABEF cã chung c¹nh AB vµ kh«ng ®ång ph¼ng. Trªn c¸c c¹nh AD, BE
lÇn lỵt lÊy c¸c ®iĨm M, N sao cho
AM BN
k
AD BE
= =
(0 < k < 1). Chøng minh r»ng MN // (CDE)
Bµi 1: Cho tø diƯn ABCD. Gäi I, J lÇn lỵt lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC vµ ABD. Chøng minh IJ//CD
Bµi 2: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh thang víi c¸c c¹nh ®¸y AB vµ CD (CD > AB). Gäi M, N lÇn lỵt lµ
trung ®iĨm cđa SA, SB
a, Chøng minh MN//CD
b, T×m giao ®iĨm P cđa SC vµ mp(AND). KÐo dµi AN vµ DP c¾t nhau t¹i I. Chøng minh SI//AB//CD. Tø gi¸c SABI
lµ h×nh g×?
Bµi 3: Cho tø diƯn ABCD. Gäi M, N, P, Q, R, S lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AB, CD, BC, AD, AC, BD
a, Chøng minh MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh
b, Chøng minh MN, PQ, RS c¾t nhau t¹i trung ®iĨm mçi ®o¹n
Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC n»m trong mp(P). Gäi Bx; Cy lµ 2 nưa ®êng th¼ng song song vµ n»m vỊ cïng phÝa ®èi
víi mp(P). M vµ N lµ 2 ®iĨm di ®éng lÇn lỵt trªn x, Cy sao cho CN = 2BM
a, Chøng minh r»ng MN lu«n ®i qua ®iĨm cè ®Þnh I khi M, N di ®éng
b, E lµ ®iĨm thc ®o¹n AM vµ
1
EM EA
3
=
. Gäi F lµ giao ®iĨm cđa IE vµ AN, Q lµ giao ®iĨm cđa BE vµ CF.
Chøng minh r»ng AQ//Bx//Cy vµ (QMN) chøa ®êng th¼ng cè ®Þnh khi M, N di ®éng
Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi M, N, P, Q lµ c¸c ®iĨm trªn BC, SC, SD vµ AD sao
cho MN//SB, NP//CD, MQ//CD
a, Chøng minh PQ//SA
b, Gäi K lµ giao ®iĨm cđa MN vµ PQ. Chøng minh SK//AD//BC
c, Qua Q dùng Qx//SC; Qy//SB. T×m giao ®iĨm cđa Qx vµ mp(SAB); giao ®iĨm cđa Qy vµ mp(SCD)
Bµi 6: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF khơng cùng nằm trong mặt phẳng . Trên hai đường thẳng chéo nhau
AC và BF lần lượt lấy hai điểm M ; N sao cho
AM : AC = BN : BF = 1: 3 . Chứng minh MN //< DE
Bµi 7: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF khơng cùng nằm trong mặt phẳng . Trên hai đường thẳng chéo nhau
AC và BF lần lượt lấy hai điểm M ; N sao cho
AM : AC = BN : BF = 5 . Dựng MM' < AB với M' trên AD; NN' < AB với N' trên AF. Chứng minh : a) MM' và NN'
//< CD b) M’N<// DF
Vấn đề 2: T×m giao tun cđa hai mỈt ph¼ng ThiÕt diƯn qua mét ®iĨm vµ song–
song víi ®êng th¼ng cho tríc
Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh thang víi c¸c c¹nh ®¸y AB vµ CD. Gäi I; J lµ trung ®iĨm cđa AD vµ
BC. Gäi G lµ träng t©m cđa tam gi¸c SAB
a, T×m giao tun cđa (SAB) vµ (IJG)
b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp víi mp(IJG). ThiÕt diƯn lµ h×nh g×? T×m ®iỊu kiƯn ®èi víi AB vµ CD ®Ĩ thiÕt
diƯn lµ h×nh b×nh hµnh
Bµi 2: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y h×nh h×nh b×nh hµnh. Gäi I, J lµ träng t©m c¸c tam gi¸c SAB vµ SAD vµ M lµ
trung ®iĨm cđa CD. X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp(IJM)
Bµi 3: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh thang víi c¸c c¹nh ®¸y AD = a; BC = b. Gäi I; J lµ träng t©m c¸c tam
gi¸c SAD vµ SBC
a, T×m ®o¹n giao tun cđa mp(ADJ) víimp(SBC); cđa (BCI) vµ (SAD)
b, T×m ®é dµi ®o¹n giao tun cđa 2 mỈt ph¼ng (ADJ) vµ (BCI) giíi h¹n bëi 2 mp (SAB) vµ (SCD)
Bµi 4: Cho tø diƯn ®Ịu ABCD c¹nh a. Gäi I vµ J lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AC vµ BC. Gäi K lµ mét ®iĨm trªn c¹nh
BD víi KB = 2KD.
a, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa tø diƯn víi mp(IJK). Chøng minh thiÕt diƯn lµ h×nh thang c©n
b, TÝnh diƯn tchs cđa thiÕt diƯn theo a
Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng t©m O c¹nh a. MỈt bªn SAB lµ tam gi¸c ®Ịu,
·
0
SAD 90=
. Gäi
Dx lµ ®êng th¼ng qua D vµ song song víi SC.
a, T×m giao ®iĨm I cđa Dx vµ mp(SAB). Chøng minh AI//SB
b, T×m thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp(AIC) vµ tÝnh diƯn tÝch cđa thiÕt diƯn ®ã
Bµi 6: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh; I, J lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa SA vµ AB. M lµ ®iĨm bÊt k×
trªn nưa ®êng th¼ng Ax chøa C. BiƯn ln theo vÞ trÝ cđa M trªn Ax c¸c d¹ng cđa thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi
mp(IJM)
Bµi 7: Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a; mỈt bªn SAB lµ tam gi¸c ®Ịu; SC = SD =
a 3
. Gäi H vµ
K lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa SA; SB. M lµ ®iĨm trªn c¹nh AD. MỈt ph¼ng (HKM) c¾t BC t¹i N
a,Chøng minh HKMN lµ h×nh thang c©n
b, §Ỉt AM = x
( )
0 x a≤ ≤
. TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c HKMN theo a vµ x. T×m x ®Ĩ diƯn tÝch nµy nhá nhÊt
c, T×m tËp hỵp giao ®iĨm cđa HM vµ KN; HN vµ KM
Bµi 8: Cho tø diƯn ®Ịu ABCD c¹nh a, lÊy M trªn c¹nh BA; P trªn c¹nh CD sao cho
a
AM DP
3
= =
. X¸c ®Þnh thiÕt
diƯn cđa tø diƯn vµ mỈt ph¼ng qua MP vµ song song víi AC. TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn ®ã
BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Vấn đề 1: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Phương pháp chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P
Ta chứng minh d khơng nằm trong (P) và song song với đường thẳng a chứa trong (P) .
Ghi chú : Nếu a khơng có sẵn trong hình thì ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và lấy a là giao tuyến của (P) và (Q)
.
Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi M, N lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AB vµ CD
a, Chøng minh
( )
MN // mp SBC
vµ
( )
MN // mp SAD
b, Gäi P lµ trung ®iĨm cđa SA. Chøng minh SB vµ SC song song víi mp(MNP)
c, Gäi G
1
vµ G
2
lÇn lỵt lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC vµ SBC. Chøng minh G
1
G
2
//mp(SAC)
Bµi 2: Cho tø diƯn ABCD. G lµ träng t©m tam gi¸c ABD, M trªn BC sao cho MB = 2MC. Chøng minh
MG//mp(ACD)
Bµi 3: Cho tø diƯn ABCD. Gäi O vµ O’ lÇn lỵt lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp c¸c tam gi¸c ABC vµ ABD. Chøng minh:
a, §iỊu kiƯn cÇn vµ ®đ ®Ĩ OO’//mp(BCD) lµ
BC AB AC
BD AB AD
+
=
+
b, §iỊu kiƯn cÇn vµ ®đ ®Ĩ OO’//mp(BCD) vµ mp(ACD) lµ BC = BD vµ AC = AD
Bµi 4: Cho hai h×nh b×nh hµnh ABCD vµ ABEF kh«ng cïng n»m trong mét mỈt ph¼ng
a, Gäi O vµ O’ lÇn lỵt lµ t©m cđa ABCD vµ ABEF. Chøng minh OO’//(ADF); OO’//(BCE)
b, Trªn AE vµ BD lÊy M vµ N sao cho
1 1
AM AE; BN BD
3 3
= =
. Chøng minh MN//mp(CDEF)
Bµi 5: Cho tứ diện ABCD . Trên cạnh AD lấy trung điểm M ; trên BC lấy điểm N bất kì.Gọi (α) là mặt phẳng chứa
đường thẳng MN và song song với CD .
a)Tìm tiết diện của tứ diện ABCD với (α) ?
b)Xác định vị trí của N trên BC sao cho tiết diện là hình bình hành ?
Bµi 6: Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AB.
(α) là mặt phẳng qua M và song song AD và SD.
a)Mặt phẳng (α) cắt SABCD theo tiết diện là hình gì ?
b)Chứng minh SA // (α)
Bµi 7: Cho hình chóp SABCD. có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (α) di
động ln ln song song BC và đồng thời đi qua trung điểm C’ của SC .
a)Mặt phẳng (α) cắt cac cạnh SA ; SB ; SD lần lượt tại A’ ; B’ ; D’ tiết diện A’B’C’D’ là hình gì ?
b)Chứng minh rằng (α) khi chuyển động ln ln chứa một đường thẳng cố định
c)Gọi M là giao điểm của A’C’ và B’D’ .Chứng minh khi (α) di động thì M di động trên đường thẳng cố định
Bµi 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy là bình hành.Gọi M là điểm di động trên cạnh SC; mặt phẳng (α) chứa AM và <
BD
a)Chứng minh (α) ln ln đi qua một đường thẳng cố định khi M chuyển động trên cạnh SC
b) (α) cắt SB và SD tại E ; F .Trình bày cách dựng E và F ?
c)Gọi I là giao điểm của ME và CB; J là giao điểm của MF và CD . Chứng minh ba điểm I ; J ; A thẳng hàng
Vấn đề 2: . T×m giao tun cđa hai mỈt ph¼ng –
ThiÕt diƯn song song víi ®êng th¼ng cho tríc
Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD. Gäi M vµ N lµ hai ®iĨm bÊt k× trªn SB vµ CD.
( )
α
lµ mỈt ph¼ng qua MN vµ song
song víi SC
a, T×m giao tun cđa mp
( )
α
víi c¸c mỈt ph¼ng (SBC); (SCD); SAC)
b, x¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp
( )
α
Bµi 2: Cho tø diƯn ABCD cã AB = a; CD = b. Gäi I, J lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AB vµ CD. (P) lµ mỈt ph¼ng qua M
trªn IJ vµ song song víi AB vµ CD
a, T×m giao tun cđa mp(P) víi mp(IJD)
b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mo(P). ThiÕt diƯn lµ h×nh g×?
Bµi 3: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi C’ lµ trung ®iĨm cđa SC; M lµ ®iĨm di ®éng trªn SA,
(P) lµ mỈt ph¼ng di ®éng lu«n ®i qua C’M vµ song song víi BC
a, Chøng minh (P) lu«n chøa ®êng th¼ng cè dÞnh
b, X¸c ®Þnh hiÕ diƯn cua hinh chãp c¾ bëi mp(P). X¸c ®Þnh ®iªm M ®ª thiÕt diƯn lµ h×nh b×nh hµnh
c, T×m tËp hỵp giao ®iĨm cđa hai c¹nh ®èi cđa thiÕt diƯn khi M di chun trªn c¹nh SA
Bµi 4: Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh thang víi ®¸y lín BC = 2a; AD = a vµ AB = b. MỈt bªn SAD lµ ta, gi¸c
®Ịu, (P) lµ mỈt ph¼ng qua ®iĨm M trªn ®o¹n AB vµ song song víi SA vµ BC, pm(P) c¾t CD; SC; SB lÇn l ỵt t¹i I; J;
K
a, Chøng minh MIJK lµ h×nh thang c©n
b, TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp(P) theo a vµ x = AM.
Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD. Gäi M vµ N lµ hai ®iĨm trªn AB vµ CD vµ (P) lµ mỈt ph¼ng qua MN vµ song song
víi SA
a, T×m c¸c giao tun cđa (P) víi (SAB) vµ (SAC)
b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp(P)
c, T×m ®iỊu kiƯn cđa M; N ®Ĩ thiÕt diƯn lµ h×nh thang
Bµi 6: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O; M lµ ®iĨm di ®éng trªn SC vµ (P) lµ mỈt ph¼ng qua
AM vµ song song víi BD
a, Chøng minh (P) lu«n chøa mét ®êng th¼ng cè ®Þnh
b, T×m c¸c giao ®iĨm H vµ K cđa (P) víi SB vµ SD. Chøng minh
SB SD SC
SH SK SM
+ −
lµ mét h»ng sè
c, ThiÕt diƯn cđa h×nh chãp víi mp(P) cã thĨ lµ h×nh thang ®ỵc hay kh«ng
Bµi 7: Cho tø diƯn ®Ịu ABCD c¹nh a; M vµ P lµ hai ®iỴm di ®éng trªn c¸c c¹nh AD vµ BC sao cho AM=CP=x (0 <
x < a). Mét mỈt ph¼ng qua MP vµ song song víi CD c¾t tø diƯn theo mét thiÕt diƯn
a, Chøng minh thiÕt diƯn th«ng thêng lµ h×nh thang c©n
b, TÝnh x ®Ĩ diƯn tÝch thiÕt diƯn nhá nhÊt
Bµi 8. Cho h×nh chãp S.ABCD gäi M, N lµ hai ®iĨm bÊt k× trªn SB vµ CD. ( α) lµ mỈt ph¼ng qua MN vµ song song
víi SC
a. T×m giao tun cđa (α) víi c¸c mỈt ph¼ng (SBC), (SCD), vµ (SAC)
b. X¸c ®inh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp t¹o bëi mỈt ph¼ng (α)
Bµi 9. Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh t©m O. M lµ trung ®iĨm cđa SB. X¸c ®ÞnhthiÕt diƯn
cđa h×nh chãp SABCD t¹o bëi mỈt ph¼ng (α) biÕt
a. (α) qua M vµ song song SO vµ AD
b. (α) qua O vµ song song AM vµ SC
Bµi 10. Cho h×nh chãp S.ABCD; G lµ träng t©m ∆ ABC; M, N, P, Q, R, H lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa SA, SC, CB,
BA, QN, AG
a. Chøng minh r»ng: S, R, G th¼ng hµng vµ SH = 2MH = 4RG
b. G
1
lµ träng t©m ∆ SBC. Chøng minh r»ng GG
1
// (SAB); GG
1
// (SAC)
c. mỈt ph¼ng (α) qua GG
1
vµ song song BC. X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp t¹o bëi mỈt ph¼ng (α)
Bµi 11. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thang ®¸y lín AD. Mét ®iĨm M bÊt k× n»m trªn AB, (α) lµ
mỈt ph¼ng qua M vµ song song AD vµ SB
a. X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp t¹o bëi mỈt ph¼ng (α). ThiÕt diƯn lµ h×nh g×?
b. Chøng minh SC song song (α).
Bµi 12. Cho tø diƯn ABCD ®Ịu c¹nh a. I lµ trung ®iĨm cđa AC , J ∈ AD sao cho AJ = 2JD. M lµ mét ®iĨm di ®éng
trong ∆ BCD sao cho mỈt ph¼ng (MIJ) lu«n song song AB
a. T×m tËp hỵp ®iĨm M
b. TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn cđa tø diƯn t¹o bëi mỈt ph¼ng (MIJ)
BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Vấn Đề 1: MẶT PHẲNG SONG SONG
Phương pháp Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp :
* Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm
trong mặt phẳng kia .
Bµi 1: Cho h×nh chíp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O. Gäi M, N lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa SA vµ CD
a, Chøng minh: mp(OMN) // mp(SBC)
b, I lµ trung ®iĨm cđa SC vµ J lµ ®iĨm n»m trªn mp(ABCD) c¸ch ®Ịu AB vµ CD. Chøng minh IJ // mp(SAB)
c, Gi¶ sư c¸c tam gi¸c SAB vµ ABC c©n t¹i A. Gäi AE vµ AF lµ c¸c ®êng ph©n gi¸c trong cđa c¸c tam gi¸c ACD vµ
SAB. Chøng minh EF // mp(SAD)
Bµi 2: Cho hai h×nh vu«ng ABCD vµ ABEF kh«ng cïng n»m trong mét mỈt ph¼ng. Trªn AC vµ BF lÊy M vµ N sao
cho AM = BN. C¸c ®êng th¼ng song song víi AB vÏ tõ M, N lÇn lỵt c¾t AD; AF t¹i M’, N’
a, Chøng minh: (CBE) // (ADF)
b, Chøng minh: mp (DEF) // mp(MNN’M’)
c, Gäi I lµ trung ®iĨm cđa MN, t×m tËp hỵp I khi M, N di ®éng
Bµi 3: Cho tø diƯn ABCD cã AB = AC = AD. Chøng minh r»ng c¸c ®êng ph©n gi¸c ngoµi cđa c¸c gãc
·
·
·
BAC, CAD, DAB
®ång ph¼ng
Bµi 4: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O. Gäi M, N lµ trung ®iĨm cđa SA, SD
a, Chøng minh mp(OMN) // mp(SBC)
b, Gäi P vµ Q lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AB vµ ON. Chøng minh PQ // mp(SBC)
Bµi 5: Cho tø diƯn ABCD. Gäi I vµ J lµ hai ®iĨm di ®éng lÇn lỵt trªn AD vµ BC sao cho
=
IA JB
ID JC
. Chøng minh IJ
lu«n song song víi mét mỈt ph¼ng cè ®Þnh
Bµi 6: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh víi AB = a; AD = 2a, mỈt bªn SAB lµ tam gi¸c vu«ng c©n
t¹i A. Trªn AD lÊy M, ®Ỉt AM = x (0 < x < 2a). MỈt ph¼ng
( )
α
qua M vµ song song víi mp(SAB) c¾t BC; SC; SD
t¹i N, P, Q
a, Chøng minh MNPQ lµ h×nh thang vu«ng
b, Gäi I lµ giao ®iĨm cđa MQ vµ NP. T×m tËp hỵp I khi M ch¹y trªn AD
c, TÝnh diƯn tÝch MNPQ theo a vµ x
Bµi 7: Cho 2 ®êng th¼ng a vµ b chÐo nhau. T×m tËp hỵp c¸c ®iĨm I trªn ®o¹n MN vµ chia MN theo tØ sè k cho tr íc
trong 2 trêng hỵp:
a, M, N di ®éng lÇn lỵt trªn a, b
b, M, N di ®éng trªn a, b vµ MN lu«n song song víi 1 mỈt ph¼ng hc n»m trªn mỈt ph¼ng cho tríc c¾t a vµ b
Bµi 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi H,I,K lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC.
a) Chứng minh (HIK)// (ABCD).
b) Gọi M là giao điểm của AI và KD, N là giao điểm của DH và CI .Chứng minh (SMN) //(HIK).
Bµi 9: Cho hình hộp ABCD.ÁB’C’D’.
a) Chứng minh (BA’D) // (B’D’C).
b) Chứng minh AC’ qua trọng tâm G và G’ của tam giác A’BD và CB’D’
Bµi 10: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA ,CD.
a) Cm: (OMN) //(SBC).
b) Giả sử tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE,A F là các đường phân giác trong của tam giác
ACD và SAB . Cm: E F //(SAD).
Bµi 11: Cho hai hình vuông ABCD, ABE F không cùng nằm trong một mặt phẳng . Trên các đường chéo AC,BF
lần lượt lấy các điểm M,N sao cho AM=BN . Các dường thẳng // AB vẽ từ M,N lần lượt cắt AD, A F tại M’,N’.
a)Cm: (CBE) //(AD F).
b) Cm: (DE F)//(MNN’M’).
VẤN ĐỀ 2: T×m giao tun cđa hai mỈt ph¼ng ThiÕt diƯn c¾t bëi mỈt ph¼ng song–
song víi mỈt ph¼ng cho tríc
Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O cã AC = a; BD = b; tam gi¸c SBD ®Ịu. MỈt ph¼ng
( )
α
di ®éng song song víi mp(SBD) qua I trªn ®o¹n AC
a, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp
( )
α
b, TÝnh diƯn tÝch cđa thiÕt diƯn theo a, b vµ x = AI
Bµi 2: Cho hai mỈt ph¼ng (P) vµ (Q) tho¶ m·n (P) //(Q),
( ) ( )
∆ ⊂ ⊂ABC mp P ; MN Q
a, T×m giao tun cđa mp(MAB) vµ mp(Q); giao tun cđa mp(NAC) vµ mp(Q)
b, T×m giao tun cđa mp(MAB) vµ mp(NAC)
Bµi 3: Tõ 4 ®Ønh cđa h×nh b×nh hµnh ABCD vÏ 4 nưa ®êng th¼ng song song cïng chiỊu Ax; By; Cz; Dt kh«ng n»m
trong mp(ABCD). Mét
( )
αmp
c¾t 4 nưa ®êng th¼ng t¹i A’; B’; C’; D’
a, Chøng minh (Ax; By) // (Cz; Dt)
b, Chøng minh A’B’C’D’ lµ h×nh b×nh hµnh
c, Chøng minh AA’ + CC’ = BB’ + DD’
Bµi 4: Cho tø diƯn ABCD, gäi G
1
; G
2
; G
3
lÇn lỵt lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC, ACD, ABD
a, Chøng minh (G
1
G
2
G
3
) // mp(BCD)
b, T×m thiÕt diƯn cđa tø diƯn c¾t bëi mp(G
1
G
2
G
3
). TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯntheo diƯn tÝch cđa tam gi¸c BCD
c, M di ®éng trong tø diƯn sao cho G
1
M // (ACD). T×m tËp hỵp ®iĨm M
Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh thang, ®¸y lín AB = 3a; AD = CD = a, tam gi¸c SAB c©n t¹i S vµ SA =
2a. MỈt ph¼ng
( )
α
di ®éng song song víi mp(SAB) c¾t AD; BC; SC; SD t¹i M; N; P; Q
a, Chøng minh MNPQ lµ h×nh thang c©n
b, §Ỉt x = AM (0 < x < a). T×m x ®Ĩ MNPQ ngo¹i tiÕp mét ®êng trßn. TÝnh b¸n kÝnh ®¬ng trßn ®ã
c, Gäi I lµ giao ®iĨm cđa MQ vµ NP. T×m tËp hỵp I khi M ®i ®éng trªn AD
Gäi J lµ giao ®iĨm cđa MP vµ NQ. Chøng minh IJ cã ph¬ng kh«ng ®ỉi vµ J di ®éng trªn 1 mp cè ®Þnh
Bµi 6: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O, E lµ trung ®iĨm cđa SB. BiÕt tam gi¸c ACE ®Ịu vµ
AC = OD = a.
( )
αMp
di ®éng song song víi mp(ACE) vµ qua I trªn OD, mp
( )
α
c¸t AD, CD, SC, SB, SA lÇn lỵt
t¹i M, N, P, Q, R
a, NhËn xÐt g× vỊ tam gi¸c PQR vµ tø gi¸c MNPR
b, T×m tËp hỵp giao ®iĨm cđa MP vµ NR khi I di ®éng trªn ®o¹n OD
c, TÝnh diƯn tÝch MNPQR theo a vµ x = DI. X¸c ®Þnh x ®Ĩ diƯn tÝch ®ã lín nhÊt
Bµi 7: Cho h×nh chãp SABCD cã ®ay lµ h×nh b×nh hµnh. MỈt ph¼ng (P) c¾t SA; SB; SC; SD lÇn l ỵt t¹i A’; B’; C’;
D’. Chøng minh ®iỊu kiƯn cÇn vµ ®đ ®Ĩ A’B’C’D’ lµ h×nh b×nh hµnh lµ mp(P) // (ABCD)
Bµi 8: Cho h×nh chãp SABC, mp(P) di ®éng song song víi mp(ABC) c¾t SA; SB; SC lÇn lỵt t¹i A’; B’; C’. T×m tËp
hỵp ®iĨm chung cđa 3 mỈt ph¼ng (A’BC), (B’AC), C’AB)
Bµi 9: Cho tø diƯn ABCD. Gäi E; F; J theo thø tù lµ trung ®iĨm cđa BC; BD; AD.
( )
αMp
qua EF vµ song song
víi BJ, mp
( )
β
qua BJ vµ song song víi CD
a, ThiÕt diƯn do mp
( )
α
c¾t tø diƯn lµ h×nh g×?
b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn do mp
( )
β
c¾t tø diƯn . Chøng minh
( ) ( )
α β//
c, AC vµ AD c¾t
( )
αmp
lÇn lỵt t¹i H, K. Gäi I lµ giao ®iĨm cđa AC vµ mp
( )
β
. Chøng minh HE; KF vµ AB ®ång
quy t¹i M
d, Gi¶ sư c¸c tam gi¸c ABC vµ ABD vu«ng t¹i B. TÝnh chu vi tam gi¸c MHK biÕt chu vi tam gi¸c ACD b»ng a
Bµi 10: Cho h×nh chãp SABCD ®ay lµ h×nh thang víi c¸c c¹nh ®¸y AB; CD víi CD = pAB (0 < p < 1). Gäi S
0
lµ
diƯn tÝch tam gi¸c SAB vµ
( )
α
lµ mỈt ph¼ng qua M trªn c¹nh AD vµ song song víi mp(SAB). §Ỉt
( )
= < <
DM
x 0 x 1
AD
.
a, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp SABCD víi
( )
αmp
. TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn theo S
0
, p, x
b, TÝnh x ®Ĩ diƯn tÝch thiÕt diƯn b»ng
0
1
S
2
Bµi 11: Cho h×nh chãp SABC, I lµ trung ®iĨm cđa SB vµ J n»m trªn ®o¹n SC sao cho
=
1
JC JS
2
vµ O lµ träng t©m
tam gi¸c ABC
a, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp víi mp(OIJ), gäi s lµ diƯn tÝch cđa thiÕt diƯn nµy
b,
( )
α
lµ mỈt ph¼ng qua M trªn nưa ®êng th¼ng BC vµ
( )
αmp
song song hc trïng víi mp(OIJ). §Ỉt
( )
= >
BM
x x 0
BC
. T×m x ®Ĩ
( )
αmp
c¾t h×nh chãp
c, BiƯn ln theo x c¸c d¹ng cđa thiÕt diƯn cđa h×nh chãp víi mp
( )
α
d, Gäi H(x) lµ diƯn tÝch cđa thiÕt diƯn nãi ë c©u c. TÝnh H(x) theo s vµ x
Bµi 12: Cho h×nh chãp SABCD cã E lµ giao ®iĨm cđa AD vµ BC. Mp(P) song song víi SE c¾t SA, SB, SC, SD theo
thø tù t¹i J, K, H, I
a, Tø gi¸c IJKH lµ h×nh g×?
b, T×m ®iỊu kiƯn cÇn vµ ®đ ®Ĩ tø gi¸c IJKH lµ h×nh b×nh hµnh
Bµi 13: Cho tø diƯn ABCD cã AD = a; BC = b; AB = c. LÊy M trªn AB, mỈt ph¼ng qua M song song víi AD vµ
BC c¾t c¸c c¹nh AC, CD, BD t¹i N, P, Q
a, Tø gi¸c MNPQ lµ h×nh g×?
b, §Ỉt AM = x. TÝnh c¸c c¹nh cđa tø gi¸c MNPQ
c, Mn tø gi¸c MNPQ lµ h×nh ch÷ nhËt ph¶i cã thªm ®iỊu kiƯn g×? T×m diƯn tÝch tø gi¸c trong tr êng hỵp nµy. T×m
vÞ trÝ cđa M trªn AB ®Ĩ tø gi¸c cã diƯn tÝch lín nhÊt
Bµi 14: Cho tø diƯn ®Ịu ABCD c¹nh a, Mp(P) qua A song song víi BC, c¾t BD vµ CD t¹i M, N, ®Ỉt BM = x. TÝnh
+ +
2 2 2
AM MN AN
BÀI 5: PhÐp chiÕu song song H×nh l¨ng trơ H×nh hép– –
Bµi 1: Cho l¨ng trơ tam gi¸c ABCA’B’C’. Mp qua ®êng chÐo A’C vµ song song víi ®êng chÐo BC’ chia AB theo tØ
sè nµo?
Bµi 2: Cho l¨ng trơ ABCA’B’C’. LÊy
∈ ∈ ∈M A' B ', N AB, P CC '
tho¶ m·n:
= = =
AM' BN C ' P 1
MB ' NA PC 2
.
Mp(MPN) c¾t B’C’ t¹i Q. T×m
C' Q
B ' C '
Bµi 3: Cho l¨ng trơ ABCA’B’C’. Gäi H lµ trung ®iĨm cđa A’B’
a, Chøng minh C’B // mp(AHC’)
b, T×m giao ®iĨm cđa AC’ vµ mp(BCH)
c, Mp(P) qua trung ®iĨm cđa CC’ vµ song song víi AH vµ CB’. X¸c ®Þnh thiÕt diƯn vµ tØ sè mµ c¸c ®Ønh cđa thiÕt
diƯn chia c¹nh t¬ng øng cđa l¨ng trơ
Bµi 4: Cho l¨ng trơ ABCA’B’C’
a, T×m giao tun cđa (AB’C’) vµ (BA’C’)
b, Gäi M vµ N lµ 2 ®iĨm bÊt k× trªn AA’ vµ BC. T×m giao ®iĨm cđa B’C’ víi mp(AA’N), cđa MN víi (AB’C’)
Bµi 5: Cho l¨ng trơ ABCA’B’C’. Gäi G vµ G’ lÇn lỵt lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC vµ A’B’C’. Chøng minh r»ng
c¸c mỈt ph¼ng (ABC’), (BCA’) vµ (CAB’) cã 1 ®iĨm chung O trªn GG’. TÝnh tØ sè OG : OG’
Bµi 6: Cho h×nh hép ABCDA’B’C’D’
a, Chøng minh mp(BDA’) // mp(B’D’C)
b, Chøng minh ®êng chÐo AC’ qua träng t©m G
1
; G
2
cđa c¸c tam gi¸c BDA’ vµ B’D’C. Chøng minh G
1
; G
2
chia
AC’ lµm 3 phÇn b»ng nhau
Bµi 7: Chøng minh r»ng trong h×nh hép, tỉng c¸c b×nh ph¬ng cđa 4 ®êng chÐo b»ng tỉng b×nh ph¬ng tÊt c¶ c¸c
c¹nh
Bµi 8: Cho l¨ng trơ tam gi¸c ABCA’B’C’
a, Gäi I, K, G lÇn lỵt lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC; A’B’C’ vµ ACC’. Chøng minh (IGK) // (BB’C’C) vµ
(A’KG) // (AIB’)
b, Gäi M, N lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa BB’ vµ CC’. H·y dùng ®êng th¼ng qua träng t©m tam gi¸c ABC c¾t AB’ vµ
MN
Bµi 9: Cho l¨ng trơ ABCA’B’C’. Gäi M, N lµ trung ®iĨm cđa BC vµ CC’, P ®èi xøng víi C qua A
a, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa l¨ng trơ víi mp(A’MN)
b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa l¨ng trơ víi mp(MNP)
Bµi 10: Cho h×nh lËp ph¬ng ABCDA’B’C’D’ c¹nh a. Gäi M, N, P lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AB, B’C’; DD’
a, Chøng minh mp(MNP) // mp(A’B’D) vµ (BDC’)
b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh lËp ph¬ng víi mp(MNP)? ThiÕt diƯn lµ h×nh g×? TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn ®ã
Bµi 11: Cho h×nh l¨ng trơ ABCA’B’C’ ®¸y lµ tam gi¸c ®Ịu c¹nh a, ABB’A’, ACC’A’ lµ c¸c h×nh vu«ng. Gäi I, J lµ
t©m cđa ABB’A’, ACC’A’ vµ O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC
a, Chøng minh IJ // mp(ABC)
b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa l¨ng trơ víi mp(IJO). Chøng minh thiÕt diƯn lµ h×nh thang c©n
ƠN TẬP TỔNG HỢP
Bµi1: Cho h×nh chãp S.ABCD, ®¸y ADBC lµ h×nh thoi c¹nh a; SA = SB = a; SC = SD = a
3
. Gäi E, F lÇn lỵt lµ
trung ®iĨm cđa c¸c c¹nh SA, SB; M lµ mét ®iĨm trªn c¹nh BC.
1) X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp S.ABCD víi mỈt ph¼ng (MEF). ThiÕt diƯn lµ h×nh g×?
2) §Ỉt BM = x (0 ≤ x ≤ a). TÝnh FM vµ diƯn tÝch thiÕt diƯn trªn theo a vµ x KQ: S =
22
3816
16
3
aaxx
a
++

Bµi2: Cho tø diƯn ABCD trong ®ã AB vu«ng gãc víi CD vµ AB = AC = CD = a; M lµ mét ®iĨm trªn c¹nh AC víi
AM = x (0 < x < a); (α) lµ mỈt ph¼ng qua M song song víi AB vµ CD.
1) X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa tø diƯn t¹o bëi mỈt ph¼ng (α). ThiÕt diƯn lµ h×nh g×?
2) TÝnh diƯn tÝchthiÕt diƯn theo a vµ x. X¸c ®Þnh x ®Ĩ diƯn tÝch thiÕt diƯn nµy lín nhÊt. S = x(a - x) 0
< x < a x =
2
a

Bµi3: Trong mỈt ph¼ng (α) cho ∆ABC ®Ịu c¹nh a, gäi O lµ trung ®iĨm cđa c¹nh AC; lÊy ®iĨm S ë ngoµi (α) sao
cho SA = a vµ SA ⊥ BO; (α) lµ mỈt ph¼ng chøa BO vµ song song víi SA.
1) (α) c¾t tø diƯn SABC theo thiÕt diƯn lµ h×nh g×?
2) TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn trªn theo a. S =
8
3
2
a

Bµi4: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ABCD lµ h×nh b×nh hµnh víi AB = 2a, AD = a. SAB lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i A.
Gäi M lµ mét ®iĨm trªn c¹nh AD víi AM = x (0 < x < a). (α) lµ mỈt ph¼ng qua M vµ song song víi (SAB).
1) (α) c¾t h×nh chãp theo thiÕt diƯn lµ h×nh g×?
2) TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn trªn theo a vµ x. S =
( )
22
2 xa
−

Bµi5: Cho tø diƯn ABCD. Gäi I, J lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa c¸c c¹nh CA, CB. M lµ mét ®iĨm trªn ®o¹n BD, mỈt
ph¼ng (IJM) c¾t AD t¹i N.
1) Chøng minh IJMN lµ h×nh thang. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa M ®Ĩ IJMN lµ h×nh b×nh hµnh.
2) Gäi K lµ giao ®iĨm cđa IM vµ JN. T×m tËp hỵp c¸c ®iĨm K khi M di ®éng trªn ®o¹n BD.
Bµi6: Tõ bèn ®iĨm cđa h×nh b×nh hµnh ABCD vÏ bèn nưa ®êng th¼ng song song cïng chiỊu Ax, By, Cz, ®Êng
th¼ng sao cho chóng c¾t mỈt ph¼ng (ABCD). Mét mỈt ph¼ng (α) c¾± bèn nưa ®êng th¼ng ®ã lÇn lỵt t¹i A', B', C',
D'.
1) Chøng minh: (Ax; By) // (Cz; Dt)
2) Chøng minh tø gi¸c A'B'C'D' lµ h×nh b×nh hµnh.
3) Gäi O, O' lÇn lỵt lµ t©m c¸c h×nh b×nh hµnh ABCD, A'B'C'D'. Chøng minh ®êng th¼ng OO' // AA' vµ AA' + CC'
= BB' + DD'
Bµi7: Cho tø diƯn ABCD víi AB ⊥ CD, ∆BCD vu«ng t¹i C cã = 30
0
. M lµ ®iĨm di ®éng trªn c¹nh BD, (α) lµ
mỈt ph¼ng qua M song song víi AB vµ CD.
1) (α) c¾t tø diƯn ABCD theo mét thiÕt diƯn lµ h×nh g×?
2) Gi¶ sư AB = BD = a, BM = x. TÝnh diƯn tÝch S cđa thiÕt diƯn thao a vµ x.
3) VÉn lÊy gi¶ thiÕt trong c©u2). X¸c ®Þnh x ®Ĩ thiÕt diƯn cã 2 ®êng chÐo vu«ng gãc.
KQ: 2) S =
( )
xax
−
2
3
3) x =
( )
a322
−

Bµi8: Cho h×nh chãp S.ABCD víi ABCD lµ h×nh thoi c¹nh a, SAD lµ tam gi¸c ®Ịu. Gäi M lµ mét ®iĨm ∈ AB, (α)
lµ mỈt ph¼ng qua M song song víi (SAD) c¾t CD, SC, SB lÇn lỵt t¹i N, P, Q.
1) Chøng minh MNPQ lµ h×nh thang c©n.
2) Gäi I lµ giao ®iĨm cđa MQ vµ NP. T×m tËp hỵp c¸c ®iĨm I khi M ch¹y tõ A ®Õn B.
3) §Ỉt AM = x. TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn MNPQ theo a vµ x
S =
( )
22
4
3
xa
−

Bµi9: Cho tø diƯn ®Ịu SABC c¹nh a. Gäi I, K, L lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AB, AI, SB. (α) lµ mỈt ph¼ng qua KL vµ
song song víi CI. TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn cđa (α) víi tø diƯn. S =
8
5
2
a

Bµi10: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®Êy lµ h×nh b×nh hµnh t©m O.
1) Tõ mét ®iĨm M di ®éng trªn ®o¹n SA dùng ®êng th¼ng song song víi AD c¾t SD t¹i N, NB c¾t SO t¹i P. Chøng
minh MP ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh
2) Trªn c¹nh CD lÊy ®iĨm Q sao cho:
SA
SM
CD
CQ
=
. Chøng minh MQ lu«n sonh song víi mét mỈt ph¼ng cè ®Þnh.
3) T×m vÞ trÝ cđa M trªn SA ®Ĩ ∆MNQ cã diƯn tÝch lín nhÊt?
Bµi11: Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD.A'B'C'D'; E, F, G lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AA', BB', CC'. Chøng minh r»ng:
1) (EFG) // (ABCD)
2) X¸c ®Þnh giao tun cđa hai mỈt ph¼ng (ABD) vµ (C'D'D).
3) T×m giao ®iĨm cđa A'C vµ (C'DB)