Bài tập: Đạo hàm hàm số lượng giác

a. Phát biểu công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác.
(sinx) = cosx
Rx
(cosx) = sinx
Rx
'
2
1
( ) ( ; ),( )
cos 2 2
tanx x k k k Z
x


= + +
'
2
1
(cot ) ( ;( 1) ),( )
sin
x x k k k Z
x

= +
b. Công thức đạo hàm của hàm hợp.
(sinu) =u cosu (cosu) =- usinu
'
'
2
(tan )
cos
u
u
u
=
'
'
2
(cot )
sin
u
u
u
=
Kiểm tra bài cũ
c. Giới hạn
0
sin
lim 1
x
x
x

=
0
sin ( )
lim 1
( )
x x
f x
f x

=
0
0
( ) 0
lim ( ) 0
x x
f x x x
f x





=


Với
Tiết 82: Luyện Tập
Bài 28: Tìm các giới hạn sau
0
tan 2
)lim
sin 5
x
x
a
x

2
0
1 cos
)lim
sin 2
x
x
b
x x


Giải
0 0
0
sin 2
2
tan 2 sin 2
2
)lim lim lim
sin 5
sin5 cos2 .sin5
5 .
5
x x
x
x
x
x x
x
a
x
x x x
x
x


= =
2
5
=
Vì
0
lim cos2 1
x
x

=
2
2 2
0 0
0
sin
( )
1 cos sin
)lim lim lim
sin 2
sin 2 sin 2
2
2
x x
x
x
x x
x
b
x
x x x x
x



= =
1
2
=
Bài 29: Tìm các giới hạn sau
a) y = sin(x
2
-3x+2)
d) y = tan(sinx)
) cos 2 1c y x= +
Giải
2
) ' (2 3)cos( 3 3 )a y x x x x= +
1
) ' ( 2 1)sin 2 1 sin 2 1
2 1
c y x x x
x
= + + = +
+
2 2 2
(sin )' cos 2
) '
cos (sin ) cos (sin ) sin 2
x x
d y
x x x
= = =
Bài 32: CMR hàm số y = cot2x thỏa mãn hệ thức: y + 2y
2
+ 2 = 0
Giải
2
2
2
2 cot 2 2
sin
VT x
x
= + +
2 2 2
2 2 2
2 2 cos 2 2 2(cos 2 sin 2 )
2 0
sin sin 2 sin 2
x x x
x x x
+ +
= + + = =
Bài 35: Giải phương trình y = 0 trong mỗi trường hợp sau:
a) y = 3sin2x + 4cos2x + 10x
b) y = tanx + cotx
Bài 35: Giải phương trình y = 0 trong mỗi trường hợp sau:
a) y = 3sin2x + 4cos2x + 10x
b) y = tanx + cotx
Giải
) ' 6 cos2 8sin 2 10a y x x= +
' 0 3cos2 4sin 2 5 0y x x= + =
3 4
cos2 sin 2 1 0
5 5
x x + =
Đặt
3 4
cos ,sin
5 5

= =
Ta được phương trình
cos( 2 ) 1x

+ =
2 2 ( )
2
x k x k k Z



+ = + = +
b) y = tanx + cotx
Điều kiện
cos 0
sin 2 0
sin 0 2
x
k
x x
x







2 2
2 2 2 2
1 1 sin cos
'
cos sin sin .cos
x x
y
x x x x

= =
2 2 2
' 0 sin cos tan 1y x x x= = =
tan 1
4
tan 1 4 2
4
x k
x
k
x
x
x k






= +

=

= +


=


= +


Bài 5.22(SBT): Cho 2 hàm số f(x) = sin
4
x + cos
4
x và g(x) =1/4.cos4x
CMR: f(x) = g(x) với mọi x R

Giải
f(x) = 4sin
3
x.cosx + 4cos
3
x (-sinx) = 4sinx.cosx(sin
2
x cos
2
x)
=2sin2x(-cos2x) = - sin4x
g(x) =1/4.(-4sin4x) = -sinx
Vậy với mọi x R ta có f(x) = g(x)

Bài 38: Cho hàm số : y= cos
2
x + msinx (m là tham số) có đồ thị
(C) .Tìm m trong mỗi trường hợp:
a) Tiếp tuyến của (C) tại điểm với hoành độ x = có hệ số góc
bằng 1
b) Hai tiếp tuyến của (C) tại các điểm có hoành độ x =-/4 và x=-
/3 song song hoặc trùng nhau

Xem chi tiết: Bài tập: Đạo hàm hàm số lượng giác