nguyên hàm

Bài 3
Bài 3
các hệ thức lượng trong
các hệ thức lượng trong
tam giác và giảI tam giác
tam giác và giảI tam giác
(Tiết 25)
(Tiết 25)




Hãy nêu các hệ thức lượng trong tam giác vuông ?
b
2
= a x ?
c
2
= a x ?
a
2
= b
2
+ ?
ah = ?
h
2
= ?
A
C
B
h
c
b
a
b
c
H
c
2
c

b

x c

b

b x c sinB = cosC =
?;
sinC = cosB =
?;
tanB = cotC = cotB = tanC =
?;
?;
a
b
a
c
c
b
222
111
cbh
+=
b
c
?
2
1
h
Bài cũ:

a) Bài toán
1. Định lí côsin
Trong tam giác ABC cho biết hai cạnh BA,
BC và góc B, hãy tính cạnh AC
A
B
C
Giải
Ta có
222
)(|| BCBAACAC ==
BCBABCBA .2
22
+=
.cos||.||2
22
2
BBCBABCBAAC +=
.cos 2
222
BBCBABCBAAC +=
Vậy ta có
.cos 2
22
BBCBABCBAAC +=





a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc cosA;
b
2
= a
2
+ c
2
- 2ac cosB;
c
2
= a
2
+ b
2
- 2ab cosC.
b) Định lý cosin
Với mọi tam giác ABC, bất kì BC = a, CA = b, AB = c ta có:
A
a
B
C
b
c
Hệ quả:
Từ định lí côsin ta suy ra:
;
2
cos
222
bc
acb
A
+
=
;
2
cos
222
ac
bca
B
+
=
.
2
cos
222
ab
cba
C
+
=

*)Ví dụ1:
Cho tam giác ABC biết
BC= a =2cm,CA= b = 4cm,
C = 60
0
. Tính cạnh c và góc A?
A
a =2
B
C
b
=
4
c
=

?
60
0
Giải
Theo định lí hàm số côsin ta có:
c
2
= a
2
+ b
2
- 2abcosC
= 4 +16 - 16.cos60
0
= 20 - 8 =12
32=c

Mặt khác, theo hq định lí hàm số cosin ta lại có:
bc
acb
A
2
cos
222
+
=
32.4.2
2)32(4
222
+
=
2
3
=
A = 30
0

*)Ví dụ2:
Cho tam giác ABC biết AC = cm,
AB= c = 1cm, BC = a = 2cm. Tính B,
tam giác ABC tù hay nhọn?
Theo hệ quả định lí hàm số cosin ta có:
Giải
7=b
c

=

1
a

=

2
A
B
C
?
7=b
ac
bca
B
2
cos
222
+
=
1.2.2
)7(12
222
+
=
2
1
=
B = 120
0
(< 0)
Tam giác ABC tù
(Ta có thể thấy thêm một ứng dụng của định lí cosin)

c) áp dụng. Tính độ dài đường trung tuyến
của tam giác
Cho tam giác ABC, có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Gọi
m
a
, m
b
, m
c
là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các
đỉnh A, B, C của tam giác. Ta có:
.
4
)(2
;
4
)(2
;
4
)(2
222
2
222
2
222
2
cab
m
bca
m
acb
m
c
b
a
+
=
+
=
+
=
A
B
C
M
m
a
c
b
a/2

Chứng minh:
Abc
b
cA
b
c
b
cm
b
cos
4
cos.
2
.2
2
2
2
2
22
+=






+=
B
A
C
M
m
b
Thật vậy, gọi M là trung điểm của AC, áp dụng định lý
cosin vào tam giác AMB, ta có:
c
a
b/2
Vì
bc
acb
A
2
cos
222
+
=
nên ta suy ra:
bc
acb
bc
b
cm
b
2
.
4
2222
22
+
+=
4
)(2
222
bca +
=
Các đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự.

Cho tam giác ABC có c = 7 cm, b = 4 cm, a = 5 cm. Hãy
tính độ dài đường trung tuyến m
c
của tam giác đó.
*)Ví dụ 3:
Ta có:
Giải
C
B
A
M
m
c
=
?
b

=

4
a

=
5
c =7
4
)(2
222
2
cab
m
c
+
=
4
7)54(2
222
+
=

Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD =
m, AC = n. Chứng minh rằng m
2
+ n
2
= 2(a
2
+ b
2
).
*)Ví dụ 4:
Giải
A
B
CD
a
b
m
n
O
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.
O là trung điểm của AC, BD.
Tam giác ABD, có:
4
)(2
222
2
BDADAB
AO
+
=
4
)(2
2
222
2
mban +
=






hay
(vì AO là trung tuyến)

n
2
= 2(a
2
+ b
2
) m
2

n
2
+ m
2
= 2(a
2
+ b
2
)
(đpcm)

Củng cố
Nhắc lại các công thức của định lí côsin,
công thức tính độ dài đường trung
tuyến của tam giác ?

Dặn dò
Làm các bài tập 1 6 (trang 59)

Xem chi tiết: nguyên hàm