một số nghiên cứu về nhóm brauer và ứng dụng của nó

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "một số nghiên cứu về nhóm brauer và ứng dụng của nó": http://123doc.vn/document/1051197-mot-so-nghien-cuu-ve-nhom-brauer-va-ung-dung-cua-no.htm

1.1.2.4. Thể
Thể là vành R sao cho R\{0} là một nhóm nhân. Trường là một thể giao hốn.
1.1.2.5. Phần tử Lũy đẳng
Trong vành R, phần tử e  0 thỏa e
2
= e được gọi là phần tử lũy đẳng.
1.1.2.6. Phần tử lũy linh
Phần tử a  R được gọi là lũy linh nếu có m  N sao cho a
m
= 0.
1.1.2.7. Tựa chính quy phải _ tựa nghịch đảo phải
Phần tử a được gọi là tựa chính quy phải nếu có b  R sao cho a + b + ab = 0.
Khi đó b được gọi là tựa nghịch đảo phải của a.
Định nghĩa tương tự cho bên trái.
1.1.2.8. Mệnh đề
Tựa nghịch đảo phải và tựa nghịch đảo trái của một phần tử a nếu có thì trùng
nhau. Khi đó a được gọi là tựa chính qui.
Hiể
n nhiên, nếu x là lũy linh thì x là tựa chính qui.
1.1.2.9. Vành đối
Cho vành R, vành R
*
xây dựng từ R, giữ ngun phép tốn cộng, thay phép
nhận trong R bằng phép nhân được định nghĩa như sau : a*b ( trong R
*
) =
b.a ( trong R)
R
*

được gọi là vành đối của vành R.
1.1.3. IDEAL VÀ VÀNH CON
1.1.3.1. Vành con
Trong vành R, giả sử có A  R và B  R thì :
AB = { ab | a  A, b  B }
Một bộ phận A   của vành R là vành con của R nếu A cùng hai phép tốn
trên R cũng là một vành.
1.1.3.2. Ideal
Vành con A là ideal trái (phải ) của vành R nếu thỏa bao hàm thức : AR  A (
RA  A)
Vành con A là ideal hai phía nếu A vừa là ideal trái, vừa là ideal phải. Một
ideal của vành R là ideal thực sự nếu A  R và A  { 0 }

Phần tử a  R thỏa Aa = { 0 } được gọi là linh hóa tử phải của A.
1.1.3.3. Ideal tối đại
Ideal A của R là tối đại nếu : A  R và thỏa  B ideal của R, A  B, A  B thì
phải có B = R.
1.1.3.4. Ideal tối tiểu
Ideal A của R là tối tiểu nếu A  {0}, và thỏa : B ideal của R, B  A, A  B
thì phải có B = { 0}
1.1.3.5. Mệnh đề
Nếu A là một ideal phải tối tiểu của vành R thì ho
ặc A
2
= { 0 } hoặc A chứa
phần tử lũy đẳng e sao cho A = eR.
Chứng minh

Giả sử A
2
 {0}, Vậy có a  A, a  0 sao cho aA  {0}. Hiển nhiên aA là ideal
phải của R chứa trong A, do A tối tiểu phải có aA = Al.
Mặt khác ( 0:a) = { x  R : ax = 0 } là R-ideal phải
Vậy

0:
A
a
là R-ideal phải khác A, suy ra


0: 0Aa



Do A = aA có e  A sao cho a = a.e  ae = ae
2
 a ( e – e
2
) = 0
Vậy




2
0: 0ee A a 
hay
2
ee

, vì a  0 nên có e  0.
Bây giờ eR là R-ideal phải chứa trong A, eR  {0} nên phải có eR = A.
1.1.3.6.
Ideal chính qui
Một ideal phải J của vành R được gọi là ideal chính qui nếu có phần tử a  R
sao cho x – ax  J,  x  R. Phần tử a gọi là đơn vị phải của J
Hiển nhiên là nếu vành R có đơn vị 1 thì mọi ideal phải của R đều chính qui.
1.1.3.7.
Mệnh đề
Mọi ideal thực sự chính qui đều chứa trong một ideal tối đại chính qui.
Hệ quả
Mọi vành có đơn vị đều có ideal thực sự chính qui.
1.1.3.8.
Mệnh đề

- Nếu J là ideal phải tối đại chính qui và B là ideal phải chính qui thì AB là
chính qui.
-
Giao một số hữu hạn các ideal phải tối đại chính qui là chính qui.
1.1.3.9.
Nil-ideal, Ideal lũy linh
Cho A là ideal phải của vành R, thì :
-
A là nil ideal nếu mọi phần tử của A đều lũy linh
-
A là ideal lũy linh nếu có m  N sao cho
1
, ,
m
aaA


thì
1
, , 0
m
aa

(điều
kiện tương đương là


0
m
A 
)
Các khái niệm tương tự cho ideal trái là hiển nhiên, trong phạm vi tài liệu, thuật
ngữ ideal dùng để chỉ ideal phải nếu khơng chỉ định gì thêm.
1.1.3.10.
Định nghĩa
Cho ideal A, ta định nghĩa tập ( A : R ) như sau :



:|
A
RxRRxA 
1.1.3.11.
Mệnh đề
Nếu A là tối đại chính qui thì (A: R) là ideal hai phía lớn nhất còn chứa trong
A.
1.1.3.12.
Ideal tựa chính qui phải
Ideal A là tựa chính qui phải nếu  x  A, x là tựa chính qui phải.
1.1.3.13.
Vành đơn
Vành R được gọi là đơn nếu R
2
 {0} và R khơng có ideal hai phía thực sự (
Ideal khác (0) và R ).
1.1.4.
ĐỒNG CẤU VÀNH
1.1.4.1. Định nghĩa
Cho (X,+, • ),(Y,+, • ) là các vành. Ánh xạ f : X → Y được gọi là một đồng
cấu vành nếu với mọi a, b
∈ X, các điều sau được thỏa mãn
1) f(a + b) = f(a) + f(b)
2) f(a.b) = f(a). f(b)
3) f(1
X
) = 1
Y


Đồng cấu vành f được gọi là đơn cấu, tòan cấu, đẳng cấu nếu f lần lượt là đơn
ánh, tòan ánh, song ánh. Nếu giữa (X,+,•) và (Y,+,•) tồn tại một đẳng cấu vành, thì ta
nói chúng đẳng cấu với nhau, và viết X
≅ Y.
Nhận xét
Nếu f : (X,+, • ) → (Y,+,•) là một đồng cấu vành thì f : (X,+) → (Y,+) là
đồng cấu nhóm.
VÍ DỤ
1) Cho (X, +, • ) là một vành và End(X) là vành các đồng tự cấu của nhóm (X,+).
Khi đó ánh xạ
f : (X, +, • ) → (End(X), +, •),
a → f
a
với f
a
(x) = a.x
là một đồng cấu vành.
2) Giả sử I là một ideal của vành X. Xét ánh xạ
ð : X → X / I,
ð (x) = x + I
ð là một tồn cấu vành, gọi là
tồn cấu chính tắc.
1.1.4.2. Các tính chất của đồng cấu vành
Các tính chất sau đây là tương tự như trong nhóm mà việc chứng minh nó là
tương tự hoặc được trực tiếp suy ra từ kết quả về đồng cấu nhóm.
• Tính chất 1 Hợp của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành. Hơn nữa hợp
của hai đẳng cấu là một đẳng cấu.
• Tính chất 2 Cho (X,+, •) và (Y,+, •) là các vành và f : X → Y là một đồng cấu
vành. Khi đó
a) Nếu A là vành con (tương ứng : ideal ) của X thì f(A) là vành con (tương ứng
: ideal ) của Y.

b) Nếu B là vành con (tương ứng : ideal ) của Y thì f
–1
(B) là vành con
(tương ứng : ideal ) của X.
Đặc biệt ta có Ker f = {x
∈ X : f(x) = 0
Y
} là một ideal của X .
• Tính chất 3 Cho (X,+, •) và (Y,+, •) là các vành và f : X → Y là một đồng cấu
vành. Khi đó
a)
f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0 }.
b) f là tồn cấu khi và chỉ khi Imf = Y.
1.1.5. MODUL
1.1.5.1. Định nghĩa Modul :
Cho R vành, một R-modul phải M
R
là nhóm cộng abel M đã xác định một ánh xạ

 
:
,,
M
RM
mr mr mr M





Sao cho
12
,, ,mm m M ab Rvà ta có :



 
12 1 2
ma b ma mb
mmamama
ma b m ab
 



Đặc biệt nếu R có đơn vị 1 và x1 = 1x,  x  M thì M là R-modul unita.
Trường hợp đặc biệt khi R là một thể thì một R modul phải gọi là một khơng gian
vectơ phải trên trường R
Khái niệm modul trái
R
M
định nghĩa tương tự.
Một bộ phận A của
R
M
là R-modul con nếu như bản thân A là R-modul.
Modul con A là thực sự nếu A  M và A  {0}.
Từ nay nếu như khơng có chú thích gì thêm, thuật ngữ R-modul dùng để chỉ một
R-modul phải M
1.1.5.2.
Định nghĩa End(M), T
r

Giả sử M là một R-modul, đặt End(M) là tập các tự đồng cấu nhóm cộng của M thì
End(M) là vành với hai phép tốn + và
. được định nghĩa như sau :

  


 


12 1 2
12 1 2 12
,,
ggm gmgm
gg m g g m m M gg End M



Khi M là R-modul thì  r  R, ánh xạ
:
,
r
TM M
mmrmM


là một tự đồng cấu nhóm của M.
Vậy

,.
r
TEndM rR
Ánh xạ f(r) = T
r
xác định một đồng cấu vành từ R vào End(M)
Ta định nghĩa tương tự cho lớp các ánh xạ bên trái


r
Lm rm
1.1.5.3.
Modul trung thành
Cho R-modul M, đặt


|0
r
AM r RMr Kerf  f(r) = T đònh nghóa như trên,với
M được gọi là modul trung thành nếu có A(M) = {0}
Nếu M là R-modul trung thành thì R được nhúng đơn cấu vào End(M) qua ánh xạ
f vì vậy có thể xem R là vành con của End(M).
1.1.5.4.
Mệnh đề
A(M) là ideal hai phía của R và M là

R
AM
-modul trung thành
1.1.5.5.
Modul bất khả qui
R-modul M là bất khả qui nếu : MR  {0} và M khơng có modul con thật sự.
1.1.5.6.
Tâm tập
Cho R-modul M, ta gọi tâm tập của M, ký hiệu C(M) là tập hợp các tự đồng cấu
nhóm của M giao hốn với các T
r







|,
rr
CM g EndM gT Tg r R  
Vậy g  C(M) khi và chỉ khi :









,|
rr
mM rRTgm gmr gTm gmr    

Hiển nhiên, C(M) là tập hợp các tự đồng cấu R-modul của M hay ta có
  
,
R
CM Hom MM . Trường hợp M là khơng gian vectơ trên thể K thì g là ánh xạ
tuyến tính .

1.1.5.7. Mệnh đề
End(M) là vành có đơn vị chứa C(M) như là một vành con.
1.1.5.8.
Bổ Đề SCHUR
Nếu M là một R-modul bất khả qui thì C(M) là một thể.
Chứng minh

Giả sử M là R-modul bất khả qui, theo mệnh đề trên, C(M) là vành con của
End(M). Ta chứng minh C(M) là một thể. Thật vậy, xét g  C(M), g  0 ; đặt W =
g(M) thì W là modul con của M. Do M bất khả qui nên phải có W = M ( do g  0 ),
vậy g là tồn cấu (1) .
Mặt khác, Kerg là modul con của M; do M bất khả qui và g  0 nên phải có
kerg = 0 hay g là đơn cấu (2).
Từ (1) và (2) ta có g là đẳng cấu. Suy ra tồn tại ánh xạ ngược
1
()gEndM



1111 11 1
,
rr r r r r
rR
gT Tg g gTg g Tgg Tg g T g C M
  

    

Vậy C(M) là một thể.
Nhận xét

Khi M là bất khả qui, do bổ đề C(M) là một thể, khi đó có thể xem M là một
C(M)-modul phải với phép nhân vơ hướng định nghĩa như sau :



,mRgCM mggm  
(ảnh của m qua g)
Ngồi ra M còn là một khơng gian vec tơ trên thể C(M)
1.1.5.9.
Định nghĩa Modul cyclic
R-modul M là cyclic nghiêm ngặt nếu có u  M, u  0 sao cho M = uR. Khi
đó, u được gọi là phần tử sinh của M.
1.1.5.10. Mệnh đề
Modul M là cyclic nghiêm ngặt nếu có ideal chính qui J sao cho
R
M
J


1.1.5.11. Ideal chính qui

Ideal J là chính qui nếu và chỉ nếu J = (0 : u) = { x  R | ux = 0 } với u là phần
tử sinh của một R-modul cyclic nghiêm ngặt.
Chứng minh

Cho M là modul cyclic nghiêm ngặt sinh bởi u  M. Khi đó  m  M, m = ua
với a  R. Ánh xạ
:
f
aua
là đồng cấu của R ( xem như R-modul) lên M. Đặt





ker | 0 0:
J
faRua u
thì J là ideal của R và
R
M
J

. Ta
chứng minh J là chính qui. Thật vậy :
Do u  M, có e  R sao cho u = ue.
Suy ra,  a  R, ua = uea hay u(e – ea) = 0 .
Vậy a – ea  J hay J là chính qui.
- Ngược lại, giả sử J là một ideal chính qui của R ta cần chứng minh M là
modul cyclic
Vì J là ideal chính qui  có e  R sao cho a – ea  J,  a  R.
Đặt M = R/J thì  a + J  M, ta có a + J = ( e + J )a, vậy M sinh bởi lớp e + J
x  J, do x – ex  J  ex  J  (e + J) x = 0  x  (0:e + J)
Ngược lại, giả sử x  (0:e + J), khi đó, ex  J và x – ex  J  x  J
1.1.5.12. Mệnh đề
M là R-modul bất khả qui khi và chỉ khi :
i) M  {0}
ii) M là R-cyclic nghiêm ngặt, sinh bởi phần tử u  0 bất kỳ.
Chứng minh

Giả sử M là bất khả qui, vậy M  {0}, xét tập con




|0,BxMxa aR 

Hiển nhiên, B là modul con của M, do M bất khả qui phải có hoặc B = 0 hoặc
B = M.
Nếu B = M thì có MR = {0} mâu thẫu với giả thiết M bất khả qui. Vậy B =
{0}.
Suy ra, với phần tử u  0 bất kỳ của M thì uR là modul con của M. Do M bất
khả qui nên có uR = M hay M là cyclic nghiêm ngặt sinh bởi u.
Ngược lại, giả sử M  {0}, M là modul cyclic nghiêm ngặt
  u  0, u  M, M = uM  MR  {0}
Gọi N là một modul con khác khơng của M, chọn u  N, u  0 thì ta có :

M
uR N M


Vậy N = M hay M bất khả qui
1.1.5.13.
Mệnh đề
R-modul M là bất khả qui khi và chỉ khi có ideal tối đại chính qui A sao cho
R
M
A

(theo nghĩa R-modul).
Chứng minh



Giả sử M là R-modul bất khả qui, xét u  0, u  M. Khi đó, ta có
R
MuR
J

với J = ( 0:u) là ideal chính qui ( mệnh đề 1.3.10)
Tính tối đại của J là hiển nhiên do M khơng có modul con thực sự.


Ngược lại, giả sử J là một ideal tối đại chính qui với đơn vị phải e, xét
R
M
J

thì
hiển nhiên M là R-modul khơng có modul con thực sự.

Ta có MR là modul con của M, giả sử MR = {0}; suy ra ea  J,  a  R; do J là
chính qui, ta có a  J,  a  R hay J = R mâu thuẫn với giả thiết J là tối đại. Vậy phải có
MR = M hay M là bất khả qui.
Nhận xét : Nếu M là R-modul phải thì M là R
*
-modul trái với R
*
là vành phản đẳng
cấu với R. Như vậy, các tính chất của M như một R-modul phải cũng đúng nếu xem M là
R
*
-modul trái.
1.1.5.14.
Định nghĩa
Cho R, A là hai vành, một nhóm aben M là (R,A)-modul nếu như M là R-modul trái
và A-modul phải và thỏa :
a(xb) = ( ax) b , a  R, x  M, b  A
1.1.6.
CĂN JACOBSON
1.1.6.1. Định nghĩa
Radical Jacobson của vành R, kí hiệu J(R) hoặc radR, là tập hợp tất cả các phần
tử của R linh hóa được tất cả các mođun bất khả qui trên R.
J(R) = { a
∈ R : Ma = (0) ; ∀ M là R-mođun bất khả qui }.
Nếu R khơng có mođun bất khả qui, đặt J(R) = R, lúc đó R được gọi là vành
Radical.
Nhận xét
Ta có A(M) = { a
∈ R : Ma = (0) ; M là R-mođun }
⇒ J(R) = ∩ A(M), ∀ M là R-mođun bất khả qui.
J(R) là ideal 2 phía của R.
Vì M được hiểu là R-mođun phải nên J(R) còn đươc gọi là Radical Jacobson phải.
Tương tự, ta định nghĩa Radical Jacobson trái. Tuy nhiên, 2 khái niệm này trùng
nhau nên ta khơng còn nhấn mạnh tính phải, trái của Radical Jacobson.
1.1.6.2.
Bổ đề
M bất khả qui ⇔ M ≅ R/, với  là ideal phải, tối đại, chính qui.
Nhận xét